Successione estratta
Salve non riesco a capire questa una cosa sulle successioni estratte. Sul libro dice:
Per ogni successione estratta \(\displaystyle n_k \) strettamente crescente di numeri naturali, si ha \(\displaystyle n_k\geq k , \forall k \in N\)
La dimostra con il principio di induzione e fa:
per \(\displaystyle k=1 \) si ha ovviamente \(\displaystyle n_1\geq 1 \). Inoltre, supponendola valida proviamo che risulta \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \), da cui risulterà vera per ogni \(\displaystyle K \)(per il principio di induzione appunto). Per ipotesi è \(\displaystyle n_{k+1}\geq n_k \geq k \)
ovvero \(\displaystyle n_{k+1}\geq k \) e perciò \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \)
il mio problema sta proprio nell'ultimo passo. Come fa a dire "e perciò \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \)" ???
Per ogni successione estratta \(\displaystyle n_k \) strettamente crescente di numeri naturali, si ha \(\displaystyle n_k\geq k , \forall k \in N\)
La dimostra con il principio di induzione e fa:
per \(\displaystyle k=1 \) si ha ovviamente \(\displaystyle n_1\geq 1 \). Inoltre, supponendola valida proviamo che risulta \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \), da cui risulterà vera per ogni \(\displaystyle K \)(per il principio di induzione appunto). Per ipotesi è \(\displaystyle n_{k+1}\geq n_k \geq k \)
ovvero \(\displaystyle n_{k+1}\geq k \) e perciò \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \)
il mio problema sta proprio nell'ultimo passo. Come fa a dire "e perciò \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \)" ???
Risposte
Per ipotesi la successione $n_k$ ha due caratteristiche:
1. è costituita da numeri interi
2. è strettamente crescente, ovvero $n_k
$n_{k+1}>n_k\geq k\to n_{k+1}>k$. Ora, $n_{k+1}$ è un intero. Sappiamo che sicuramente è strettamente maggiore di $k$, quindi può assumere un valore da $k+1$ incluso in poi. Questo in simboli si traduce come $n_{k+1}\geq k+1$.
(pensa alla retta numerica per aiutarti)
Paola
1. è costituita da numeri interi
2. è strettamente crescente, ovvero $n_k
$n_{k+1}>n_k\geq k\to n_{k+1}>k$. Ora, $n_{k+1}$ è un intero. Sappiamo che sicuramente è strettamente maggiore di $k$, quindi può assumere un valore da $k+1$ incluso in poi. Questo in simboli si traduce come $n_{k+1}\geq k+1$.
(pensa alla retta numerica per aiutarti)
Paola
a forse ho capito..vedi se è giusto. In poche parole \(\displaystyle K \) è un numero naturale ok? per esempio \(\displaystyle 3 \), ed \(\displaystyle n_{k+1} \) è un numero itero che sappiamo essere più grande di \(\displaystyle K=3 \) essende intero e più grande di \(\displaystyle K=3 \), \(\displaystyle n_{k+1} \) non può che essere un numero \(\displaystyle \geq 4 \) ed essendo \(\displaystyle k+1=4 \) (in questo caso) diciamo che \(\displaystyle n_{k+1}\geq k+1 \) , è corretto cosi?
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