Successione e serie di funzione.. $f_n (x)$

[21zuclo]

Ciao a tutti, stavo ripassando le successioni e le serie di funzioni, su questo esercizio ho molti dubbi. Non so se ho fatto correttamente. Aiutatemi per favore, a capire dove ho sbagliato, la mia prof di Analisi 2 ci tiene che sappiamo queste cose. Grazie in anticipo

Per $ n\geq 1, f_n: RR\to RR $ definita come $ f_n(x)=\sqrt{n}ln((2-x+nx^2)/(2+nx^2)) $
1. Si studino la convergenza puntuale e uniforme della successioni di funzioni in $RR$
2. Si studino la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni $ \sum_(n=1)^(+\infty) f_n(x) $

ho provato a svolgere così

1.
prima di tutto $ \sqrt{n}ln((2-x+nx^2)/(2+nx^2)) =\sqrt{n}\ln(1-(x)/(2+nx^2)) $

il limite puntuale, siccome $ ln(1-(x)/(2+nx^2)) $ \(\sim\) $-(x)/(2+nx^2)$ per $n\to +\infty$ e $\forall x\in RR$

il limite puntuale è $ \lim_(n\to +\infty) f_n(x)=\lim_(n\to +\infty) -(\sqrt{n} \cdot x)/(2+nx^2)=0 $ (predomina il denominatore)

la convergenza uniforme, ho provato a fare così, ma ho alcuni dubbi che sia esatto

$ Sup_(x\in RR) |\sqrt{n}\ln(1-(x)/(2+nx^2))|\leq (\sqrt{n}\cdot x)/(2+nx^2)\to 0 $ per $n\to +\infty$

in pratica invece di usare l'asintotico ho minorato la successione di funzione. È esatto?

in poche parole vi è convergenza uniforme su tutto $RR$.

2.
per la serie ho detto che non converge puntualmente in quanto (con quello che ho detto prima con l'asintotico)

$ \sum_(n=1)^(+\infty) (\sqrt(n)\cdot x)/(2+nx^2) $ NON converge

poichè $ (\sqrt(n)\cdot x)/(2+nx^2) $ \(\sim\) $ (\sqrt(n)\cdot x)/(nx^2)=(\sqrt{n})/(n x)=(1)/(n^(1/2)x) $

e la serie $ \sum_1^(+\infty)(1)/(n^(1/2)x) $ diverge!

Quindi la convergenza puntuale..NON c'è..
ma c'è convergenza uniforme in un sotto intervallo di $RR$ di tipo $ (-\infty, a]\cup [a,+\infty), a>0 $

Ecco sicuramente c'è qualcosa che non va in tutto l'esercizio.

[21zuclo]

È tutto giusto? Non credo..

cosa c'è di sbagliato?..sicuramente c'è qualche errore..aiutatemi a capirlo..

[rettile56]

Scusami non ho capito come l'hai minorato però.
Hai detto che |log(1-X)|
Comunque io l'avrei fatto così. L'espressione iniziale si deriva in 20 secondi (devi scriverla come differenza di logaritmi, sennò al contrario ti ci vuole un'ora). Studiando il segno della derivata prima ottieni che questa è positiva quando $ x> sqrt(2/n) $.
Inoltre studiando il segno della successione (idem si fa in 10 secondi se la scrivi come differenza di log) vedi che la funzione è negativa per x>0 e positiva per x<0 e nulla in 0.
Quindi hai questa situazione:
la funzione decresce da -oo, passa per 0 e arriva a x=$ sqrt(2/n) $, qui ha un minimo e da lì cresce fino a zero. Puoi dividere quindi lo studio della convergenza uniforme in (-oo, $sqrt(2/n)$) e ($sqrt(2/n)$, +oo), dove sai a questo punto che gli estremi superiori sono :

in (-oo, $sqrt(2/n) $ ) si ha Sup[fn(x)-f(x)] = fn(-oo), che è 0 per n->+oo.
in ($sqrt(2/n)$, +oo) si ha Sup[fn(x) . f(x)] =fn(0) che è 0 pe n->+oo

quindi la succ. di funzioni conv. uniformemenete in R

Non so se è giusto eh, ma mi sembra funzioni. Spero in qualcuno che voglia correggerci entrambi.

[21zuclo]

@pollo93
riguardo alla serie..cioè alla domanda 2..cosa dici?

[rettile56]

Per la serie non lo so, non sono il mio forte...ma mi sembra sensato, per quel che vale.

[Camillo]

Rispolvero questo interessante esercizio e fornisco la mia soluzione ( o la soluzione ? ).
* Successione di funzioni $f_n(x) = sqrt(n)*ln((2-x+nx^2)/(2+nx^2)) = sqrt(n)*ln(1-(x/(2+nx^2)))$
Convergenza puntuale .
Sia $x $ fissato e calcolo $lim_(n rarr +oo) f_n(x)= lim_(n rarr +oo ) sqrt(n)*ln[1-(x/(2+nx^2))]$
Poiché per $ n rarr +oo $ si ha che $(1-x/(2+nx^2)) $ è asintotico a $ 1-x/(nx^2) = 1-1/(nx)$ ne segue che $ln(1-1/(nx)) $ è asintotico a $ -1/(nx)$.
Quindi $lim_(n rarr +oo) f_n(x)= sqrt(n)(-1/(nx))= lim_(n rarr +oo) (-1/(sqrt(n)x)) =0 $ ,$ AAx in RR $ [ Notare che $f_n(0)=0 $].Quindi $f=0 $ .il limite puntuale è la funzione identicamente nulla su tutto $RR$:

Convergenza uniforme
Devo valutare il sup di $|f_n(x)| =|sqrt(n)*ln[1-x/(2+nx^2)]| $.
Calcolo $f'_n(x)=sqrt(n)((-1+2nx)(2+nx^2)-(2-x+nx^2)(2nx))/((2-x+nx^2)(2+nx^2) )$ =$ sqrt(n)*(nx^2-2)/((2-x+nx^2)(2+nx^2))$
La derivata prima si annulla per $ x =+-sqrt(2/n)$che sono pertanto i punti di max e min di $f_n(x)$.
Si vede che $f_n(+-sqrt(2/n))= sqrt(n)*ln[1-(+-sqrt(2/n))/4]$
Quindi sup $f_n(x)= sqrt(n)ln[1+(sqrt(2/n))/4]$
Ora$ lim_(n rarr +oo) sqrt(n)ln[1+(sqrt(2/n))/4]$ è asintotico a $sqrt(n) *(1/4)*sqrt(2)/sqrt(n) = sqrt(2)/4 ne 0 $
Quindi non si ha convergenza uniforme.
Resta aperto il problema delle convergenze puntuali e uniformi della serie $sum_(n=1)^(+oo) f_n(x) $.

[gugo82]

Tutto giusto, Camillo.

Visto che i punti "fastidiosi" si accumulano in \(0\), potrebbe essere simpatico andare a vedere cosa succede alla convergenza se ci si limita a guardare in \(\mathbb{R}\setminus ]-\delta ,\delta[\) (con \(\delta>0\)), cioé quando si isola il punto di accumulazione dei punti "fastidiosi".

Per quel che riguarda la serie, dato che, asintoticamente, la successione degli addendi è infinitesima d'ordine \(1/2\) rispetto ad \(1/n\) quando \(x\neq 0\), è chiaro che la serie non può convergere puntualmente in alcun punto di \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\). D'altro canto, per \(x=0\) la serie diviene la serie nulla, che è convergente; pertanto l'insieme di convergenza di \(\sum f_n(x)\) è \(X:=\{0\}\).

[Camillo]

Grazie gugo per il supporto

[21zuclo]

Dunque aiutatemi a capire meglio..

ho capito il ragionamento che ha fatto Camillo, che si è trovato sup e inf.. precisamente $x=\pm \sqrt{2/n}$

però ha visto che in quei 2 punti $f_n (x)\ne 0$

Dunque NON converge uniformemente?.. giusto?..

Mentre tu gugo82, dici di andare a verificare cosa?.. tutti gli altri punti meno quei 2 trovati?..

Poi per quanto riguarda la serie..$\sum f_n(x)$

per $x\ne 0$ diverge, mentre per $x=0$ c'è convergenza poichè è una somma di tutti zeri..

dunque concludo già che NON vi è convergenza uniforme in quanto c'è un salto.. giusto?

[Camillo]

Sulla convergenza puntuale delle $f_n(x)$ non c'è problema nel senso che $f_n(x) rarr 0 $ ( cioè alla funzione nulla ) per qualunque valore di $x in RR $ .
Punto.


Convergenza uniforme
Calcolando la derivata prima delle $f_n(x) $ ho trovato in quali punti essa si annulla : $ x=+-sqrt(2/n) $ e precisamente in $x= sqrt(2/n) $ si ha un minimo che vale $f_n(sqrt(2/n)) =sqrt(n)*ln(1-(sqrt(2/n))/4)$ mentre in $x= -sqrt(2/n) $ si ha un max che vale $f_n(-sqrt(2/n))= sqrt(n)*ln(1+(sqrt(2/n))/4)$.
N.B. i sup e inf sono $sqrt(n)*ln(1+(sqrt(2/n))/4)$ e $ sqrt(n)*ln(1-(sqrt(2/n))/4)$ e non $x=+-sqrt(2/n)$ che sono le ascisse dei punti in cui le $f_n(x)$ assumono sup e inf. OK ?
Adesso vado a veder quanto e come la $f_n(x) $ si discosta dalla funzione $f=0$ che è il limite puntuale delle successioni $f_n(x)$.
Si scopre coi calcoli fatti sopra che questo scostamento in valore assoluto - chiamiamolo errore - è massimo per $x=+-sqrt(2/n)$ e vale $sqrt(n)ln(1-+(sqrt(2/n))/4) $.
Ma quando $n rarr +oo $ questo scostamento va proprio a zero , come deve essere se c'è convergenza uniforme oppre no ?
Dai conti si vede invece che lo scostamento è, per $ n rarr +oo$ pari a $sqrt(2)/4 ne 0 $.
Quindi la convergenza non è uniforme.
Quali sono i punti che " non si comportano bene" ?Quando $n rarr +oo $ allora $+-sqrt(2/n) rarr 0 $ ed è quindi l'origine il punto in questione.Se lo si toglie di mezzo , cioè se si va a vedere la convergenza in $RR $ privato dell'origine le cose dovrebbero anadare bene ed è il suggerimento di gugo - che va provato.

[Camillo]

Per quanto riguarda la serie $sum f_n(x) $ i suoi termini sono $sqrt(n)*ln(1-x/(2+nx^2))$ ed asintoticamente si comportano, per $n rarr +oo$ come $sqrt(n)*(-1/(nx)) =-1/(sqrt(n)x) =-1/(n^(1/2)*x)$ ma questo non basta nel senso che la convergenza si ha se è asintotico a $k/(n^(alpha)$ con $alpha > 1 $ ma qui è $alpha =1/2$.
Naturalemte in $x=0 $ la serie banalmente converge al valore $0$.

[Camillo]

@ 21zuclo : non è tanto il fatto che $f_n(x) $ con $ x= +-sqrt(2/n$ è diverso da zero, quanto piuttosto il fatto che $lim_(n rarr +oo) f_n (+-sqrt(2/n)) $ NON è ZERO ,
Questo è il punto .ok ?

Puo essere utile fare il grafico ad es. di $f_1(x) $ e di f_(10)(x) $

[gugo82]

"21zuclo":
Per $ n\geq 1, f_n: RR\to RR $ definita come $ f_n(x)=\sqrt{n}ln((2-x+nx^2)/(2+nx^2)) $
1. Si studino la convergenza puntuale e uniforme della successioni di funzioni in $RR$

Come dimostrato da Camillo, la successione converge puntualmente in \(\mathbb{R}\) verso la funzione nulla \(f(x):=0\), però non vi converge uniformemente perché:
\[
\lim_n \sup_{x\in \mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)| = \lim_n \max_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)| = \lim_n \max \left\{ \left| f_n\left( \sqrt{\frac{2}{n}}\right)\right| , \left| f_n\left( -\sqrt{\frac{2}{n}}\right)\right|\right\} = \frac{\sqrt{2}}{4} \neq 0\; .
\]
Da quanto appena detto segue che la successione \((f_n)\) non converge uniformemente perché ogni funzione \(|f_n|\) prende un massimo assoluto "troppo grande".
D'altra parte, si vede che le ascisse dei due punti di massimo relativo di \(f_n\), i.e. \(x_n^\prime = -\sqrt{2/n}\) e \(x_n^{\prime \prime}= \sqrt{2/n}\), si accumulano intorno a \(0\); pertanto, può sembrare sensato studiare cosa succede alla convergenza di \((f_n)\) se si elimina dai giochi un piccolo intorno \(]-\delta , \delta[\) di \(0\), cioé studiare la convergenza nell'insieme \(X(\delta) := \mathbb{R}\setminus ]-\delta ,\delta[\) con \(\delta >0\).

Chiaramente, visto che \(\lim_n x_n^\prime =0=\lim_n x_n^{\prime \prime}\), in corrispondenza di \(\delta\) esiste certamente un indice \(\nu\) tale che:
\[
\forall n\geq \nu,\quad -\delta \]
pertanto per \(n\geq \nu\) la funzione \(|f_n(x)|\) è strettamente crescente in \(]-\infty, -\delta]\) e strettamente decrescente in \([\delta ,\infty[\) e, conseguentemente, si ha:
\[
M_n(\delta) := \sup_{x\in X(\delta)} |f_n(x)-f(x)| = \max_{x\in X(\delta)} |f_n(x)| = \max \{ |f_n(-\delta)| ,|f_n(\delta)| \}\; .
\]
Dalla stessa definizione di \(f_n\) segue che:
\[
\begin{split}
f_n(\delta) &= \sqrt{n}\ \ln \left( 1-\frac{\delta}{2+n\delta^2}\right) <0\\
f_n( - \delta) &= \sqrt{n}\ \ln \left( 1+\frac{\delta}{2+n\delta^2}\right) >0
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
|f_n(\delta)| &= - \sqrt{n}\ \ln \left( 1-\frac{\delta}{2+n\delta^2}\right) \\
|f_n( - \delta)| &= \sqrt{n}\ \ln \left( 1+\frac{\delta}{2+n\delta^2}\right)
\end{split}
\]
e da ciò segue che \(|f_n(\delta)|>|f_n(-\delta)|\), cosicché:
\[
M_n(\delta) = |f_n(\delta)| = - \sqrt{n}\ \ln \left( 1-\frac{\delta}{2+n\delta^2}\right)
\]
per \(n\geq \nu\).
Per controllare se \((f_n)\) converge uniformemente in \(X(\delta)\) basta allora calcolare il limite di \(M_n(\delta)\) per \(n\to \infty\): si ha:
\[
\lim_n M_n(\delta) = \lim_n - \sqrt{n}\ \ln \left( 1-\frac{\delta}{2+n\delta^2}\right) = \lim_n -\sqrt{n}\ \frac{-1}{\delta\ n} = 0
\]
dunque \((f_n)\) converge uniformemente su \(X(\delta)\).

Stante l'arbitrarietà di \(\delta\), possiamo dire che \((f_n)\) converge uniformemente in ogni insieme del tipo \(\mathbb{R}\setminus ]-\delta ,\delta[\) e, perciò, anche in ogni insieme del tipo \(\mathbb{R}\setminus ]-\delta_1,\delta_2[\), cioé in \(\mathbb{R}\) privato di un intorno qualsiasi (non necessariamente simmetrico) dello zero.

[Camillo]