Successione di successioni

[Kroldar]

Fissato $n in NN$, sia $(x_(n,k))_k$ una successione di numeri (reali o complessi, non ha importanza).
Se ora si fa variare $n$ in $NN$, si ottiene una successione di successioni.
Sotto quali ipotesi risulta $lim_n ( lim_k x_(n,k) ) = lim_k ( lim_n x_(n,k) )$? In altre parole, è sempre lecito invertire l'ordine dei limiti? Per semplicità, si escluda il caso in cui qualche limite non esista.

[gugo82]

Se la convergenza è uniforme rispetto a $n$ puoi scambiare i limiti, altrimenti no.

Esempio semplice:

$x_(k,n)=\{(0, ", se " k<=n),(1, ", se " k>n):}$

che a volerlo visualizzare in una tabella è più o meno così:

$((0,0,0,0,0,\ldots),(1,0,0,0,0,\ldots),(1,1,0,0,0,\ldots),(1,1,1,0,0,\ldots),(1,1,1,1,0,\ldots),(\vdots,\vdots,\vdots,\vdots,\vdots,\ddots))$ ($k$ indice di riga, $n$ indice di colonna).

In tal caso si ha $AAn, lim_k x_(k,n)=1$ e $AAk, lim_n x_(k,n)=0$, quindi...

[Gaal Dornick]

Non saprei come scrivere la cosa per bene.
Ma dato che un limite "è" una serie, e una serie "è" un integrale, posso usare in "un qualche modo" Fubini Tonelli?

[gugo82]

"Gaal Dornick":Non saprei come scrivere la cosa per bene.
Ma dato che un limite "è" una serie, e una serie "è" un integrale, posso usare in "un qualche modo" Fubini Tonelli?

Credo che in questo modo le cose si complichino.
Infatti hai a che fare con una successione doppia ed è un po' complicato definire un modo sensato di raccogliere i termini per ricondursi ad una serie doppia (invece quando hai una successione ad un solo indice, $(x_k)$, puoi prendere tranquillamente la serie $\sum x_(k+1)-x_k$; il modo sensato viene "gratis" dall'ordinamento di $NN$).

Non vedo perchè buttarsi in queste considerazioni quando basta chiedere una semplice convergenza uniforme -anche perchè, in sostanza, l'operazione che si vuol fare è "la stessa" che si fa nel caso dell'inversione dei limiti per successioni di funzioni, ossia stabilire delle condizioni sufficienti affinché $lim_(x\to x_0) lim_n f_n(x)=lim_n lim_(x\to x_0) f_n(x)$-.
La dimostrazione si trasporta pari pari al caso delle successioni doppie; anzi, nel caso presente la condizione di Cauchy per la convergenza uniforme recita:

$AA epsilon >0, exists nu\in NN:\ AAk,h>nu,\ "sup"_(n\in NN) |x_(k,n)-x_(h,n)|
Faccio notare che per la successione doppia dell'esempio precedente non la verifica, in quanto si ha $AA k,h \in NN,\ "sup"_(n\in NN) |x_(k,n)-x_(h,n)|=1$.