Successione di funzioni particolare
Una successione di funzioni ${g_k}$ positive e continue, $g_k:RR->[0,oo)$ tale per cui vale questa condizione:
$lim_(k->oo)g_k(x)=oo$ se e solo se $x$ é irrazionale
Può esistere?
$lim_(k->oo)g_k(x)=oo$ se e solo se $x$ é irrazionale
Può esistere?
Risposte
$g_(k)(x):={(k+x^(2k) if x in RR-QQ),(0 if x inQQ):}$
Può andare?
Fissando $x_0 inRR-QQ$ hai $g_k(x_0)=k+(x_0)^(2k)$
Se $|x_0|<1$ allora la parte con l’esponente tende a $0$ e $k->+infty$
Se $|x_0|=1$ allora $g_k(x_0)=k+1$ che tende a $+infty$
Se $|x_0|>1$ allora tendono entrambi a $+infty$
Viceversa se tende a $+infty$ allora deve essere necessariamente irrazionale, perché se per assurdo appartenesse a $QQ$ sarebbe $0$.
Ad essere pedanti andava bene anche $g_(k)(x):={(k if x in RR-QQ),(0 if x inQQ):}$
Può andare?
Fissando $x_0 inRR-QQ$ hai $g_k(x_0)=k+(x_0)^(2k)$
Se $|x_0|<1$ allora la parte con l’esponente tende a $0$ e $k->+infty$
Se $|x_0|=1$ allora $g_k(x_0)=k+1$ che tende a $+infty$
Se $|x_0|>1$ allora tendono entrambi a $+infty$
Viceversa se tende a $+infty$ allora deve essere necessariamente irrazionale, perché se per assurdo appartenesse a $QQ$ sarebbe $0$.
Ad essere pedanti andava bene anche $g_(k)(x):={(k if x in RR-QQ),(0 if x inQQ):}$
Se togliessimo l'ipotesi di continuitá delle $g_k$, allora quelle successioni andrebbero bene. Tuttavia è facile verificare che tanto continue non sono, purtroppo.
Ah scusa non avevo letto l’ipotesi di continuità.
Allora ci devo pensare
Una cosa: la continuità la richiedi quando fissi $k$?
Te lo chiedo perché le successioni difunzioni io le vedo come $f:NNtimesA->RR$ dove $AsubsetRR$
Da cui posso estrarre una successione fissando $x_0 inA$ o una funzione di una variabile reale fissando $k inNN$
Perché se richiedi che sia continua una volta fissato $x_0 inA$ ovvero che la successione $(f_k(x_0))_(k inNN)$ allora questo è sempre vero visto che l’insieme immagine contiene solo punti isolati.
Allora ci devo pensare
Una cosa: la continuità la richiedi quando fissi $k$?
Te lo chiedo perché le successioni difunzioni io le vedo come $f:NNtimesA->RR$ dove $AsubsetRR$
Da cui posso estrarre una successione fissando $x_0 inA$ o una funzione di una variabile reale fissando $k inNN$
Perché se richiedi che sia continua una volta fissato $x_0 inA$ ovvero che la successione $(f_k(x_0))_(k inNN)$ allora questo è sempre vero visto che l’insieme immagine contiene solo punti isolati.
Come da convenzione (almeno credo), cioè:
Per ogni $k_0 in NN$, $g_(k_0):RR->[0,oo)$ è continua come funzione reale.
Inolte mi pare che la continuitá su $NNxxRR$ sua una ipotesi più forte di quella che ho imposto io (per qualche proprietá del prodotto topologico, ma non sono sicurissimo)
Per ogni $k_0 in NN$, $g_(k_0):RR->[0,oo)$ è continua come funzione reale.
Inolte mi pare che la continuitá su $NNxxRR$ sua una ipotesi più forte di quella che ho imposto io (per qualche proprietá del prodotto topologico, ma non sono sicurissimo)
I think it's possible. Maybe you can build an example in the following way. It's just an idea, but I think it could be done:
Let $k\in \mathbb{N}$ and take $Q_k:=\{r_h^k\}_{h=-k}^k$ a set of $2k+1$ rational numbers which is symmetric with respect to $0$ in such a way that $Q_k\subset Q_{k+1}$ and $\{Q_k\}_{k\in\mathbb{N}}=\mathbb{Q}$.
Consider the sequence $\{(x+1)^n\chi_{[-1,0)}+(1-x)^n\chi_{[0,1]}\}_{n\in\mathbb{N}}$, where $\chi_A(x)=1$ if $x\in A$ and $0$ otherwise. This is a sequence of continuous functions in $[0,1]$ and its pointwise limit is the function $\chi_{[-1,1]}(x)\chi_{\{0\}}(x)$. Observe that, at some point, these functions looks like a sawtooth. Let's say that $0$ is a sawtooth. By dilating and translating, we can get, for each $k\in\mathbb{N}$, a continuous function $f_k$ for which each point of $Q_k$ is a sawtooth.
By construction, we have that $f_k\to\chi_{\mathbb{Q}}$ pointwisely. If we define $g_k=k(1-f_k)$ we get the desired sequence.
Let $k\in \mathbb{N}$ and take $Q_k:=\{r_h^k\}_{h=-k}^k$ a set of $2k+1$ rational numbers which is symmetric with respect to $0$ in such a way that $Q_k\subset Q_{k+1}$ and $\{Q_k\}_{k\in\mathbb{N}}=\mathbb{Q}$.
Consider the sequence $\{(x+1)^n\chi_{[-1,0)}+(1-x)^n\chi_{[0,1]}\}_{n\in\mathbb{N}}$, where $\chi_A(x)=1$ if $x\in A$ and $0$ otherwise. This is a sequence of continuous functions in $[0,1]$ and its pointwise limit is the function $\chi_{[-1,1]}(x)\chi_{\{0\}}(x)$. Observe that, at some point, these functions looks like a sawtooth. Let's say that $0$ is a sawtooth. By dilating and translating, we can get, for each $k\in\mathbb{N}$, a continuous function $f_k$ for which each point of $Q_k$ is a sawtooth.
By construction, we have that $f_k\to\chi_{\mathbb{Q}}$ pointwisely. If we define $g_k=k(1-f_k)$ we get the desired sequence.
Sorry for my intrusion, but i don't fully understand your costruction.
Clearly set a rational number $x$ the succesion $(g_k(x))$ is equal to $0$ for $k>k_0$.
Set a irrational number $y$ the succession $(f_k(y))$ is $<1$. (so i can think that $g_k(y)\to +\infty$ for $k\to +\infty$).
Can happen that $(1-f_k(y))\to 0$ and so who wins between $k$ and $(1-f_k(y))$?.
Clearly set a rational number $x$ the succesion $(g_k(x))$ is equal to $0$ for $k>k_0$.
Set a irrational number $y$ the succession $(f_k(y))$ is $<1$. (so i can think that $g_k(y)\to +\infty$ for $k\to +\infty$).
Can happen that $(1-f_k(y))\to 0$ and so who wins between $k$ and $(1-f_k(y))$?.
"Wilde":
Sorry for my intrusion, but i don't fully understand your costruction.
Clearly set a rational number $x$ the succesion $(g_k(x))$ is equal to $0$ for $k>k_0$.
Set a irrational number $y$ the succession $(f_k(y))$ is $<1$. (so i can think that $g_k(y)\to +\infty$ for $k\to +\infty$).
Can happen that $(1-f_k(y))\to 0$ and so who wins between $k$ and $(1-f_k(y))$?.
I think you didn't understand the construction, which is perfectly understandable because I didn't do it in a very precise way. In any case, the idea is that you can think in the sequence of functions $\{(x+1)^n\chi_{[-1,0)}+(1-x)^n\chi_{[0,1)}\}_{n\in\mathbb{N}}$ and extrapolate its behavior to each rational number.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo