Successione di funzioni.. mi blocco su convergenza uniforme
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio, ma arrivo ad un punto in cui non come muovermi. Sono in difficoltà col secondo punto dell'esercizio. Aiutatemi per favore, grazie in anticipo.
Ah se voi aveste agito in maniera differente e più veloce scrivetelo pure.
Data la successione di funzioni $ f_n (x)=\exp(-8nx^2)(3\sqrt{n}x+2) $
1. Determinare l'insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite
2. Stabilire se su E vi è convergenza uniforme e in caso negativo stabilire su quali intervalli $ I sub E $ la convergenza risulta uniforme
ho provato a svolgerlo così
punto 1 - convergenza puntuale
se $x=0$ si ha che $ f_n (0)=2 $
ora fisso un $ x_0\in \mathbb{R}-{0} $ e calcolo la funzione limite
$ lim_(n -> +\infty) \exp(-8n x_0^2)(3\sqrt{n}x_0+2)=\lim_(n\to +\infty) (3\sqrt{n}x_0+2)/(\exp(8n x_0^2 ))=0 $
viene 0, poichè l'esponenziale a denominatore predomina.
Dunque concludo per il punto 1. che la funzione limite,
si può riscrivere così \( f_n(x)\to f =\begin{cases} 2 & x=0 \\ 0 & x\ne0\end{cases} \) per $n\to +\infty$
per cui l'intervallo di convergenza puntuale è $E= (-\infty,0)\cup (0,+\infty)$
per il punto 2 - convergenza uniforme
dico già subito che nell'intervallo E non vi convergenza uniforme, poichè la funzione limite non è continua.
quindi considero un $ \delta>0 $ e considero l'intervallo $ I = (-\infty, \delta)\cup(\delta,+\infty) $
quindi faccio il $ Sup_(x\in I) |f_n (x)| $
$ f_n(x)=\exp(-8n x^2)(3\sqrt{n}x+2) $,
faccio la sua derivata prima (ometto i calcoli)
$ f_n '=(partial f)/(partial x) =\sqrt{n}\exp(-8n x^2)(-48x^2 n-32\sqrt{n}x+3) $
ora però non so come trovare il max nella derivata prima..
A calcolare il determinante di
$(-48x^2 n-32\sqrt{n}x+3) \to 48n x^2+32\sqrt{n}x-3=0$ mi esce $\Delta= (16\sqrt{n})^2-[(48n)(-3)]=256n+144n=400n$ ..
Quindi non so più andare avanti, con l'esercizio..
Ah se voi aveste agito in maniera differente e più veloce scrivetelo pure.
Data la successione di funzioni $ f_n (x)=\exp(-8nx^2)(3\sqrt{n}x+2) $
1. Determinare l'insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite
2. Stabilire se su E vi è convergenza uniforme e in caso negativo stabilire su quali intervalli $ I sub E $ la convergenza risulta uniforme
ho provato a svolgerlo così
punto 1 - convergenza puntuale
se $x=0$ si ha che $ f_n (0)=2 $
ora fisso un $ x_0\in \mathbb{R}-{0} $ e calcolo la funzione limite
$ lim_(n -> +\infty) \exp(-8n x_0^2)(3\sqrt{n}x_0+2)=\lim_(n\to +\infty) (3\sqrt{n}x_0+2)/(\exp(8n x_0^2 ))=0 $
viene 0, poichè l'esponenziale a denominatore predomina.
Dunque concludo per il punto 1. che la funzione limite,
si può riscrivere così \( f_n(x)\to f =\begin{cases} 2 & x=0 \\ 0 & x\ne0\end{cases} \) per $n\to +\infty$
per cui l'intervallo di convergenza puntuale è $E= (-\infty,0)\cup (0,+\infty)$
per il punto 2 - convergenza uniforme
dico già subito che nell'intervallo E non vi convergenza uniforme, poichè la funzione limite non è continua.
quindi considero un $ \delta>0 $ e considero l'intervallo $ I = (-\infty, \delta)\cup(\delta,+\infty) $
quindi faccio il $ Sup_(x\in I) |f_n (x)| $
$ f_n(x)=\exp(-8n x^2)(3\sqrt{n}x+2) $,
faccio la sua derivata prima (ometto i calcoli)
$ f_n '=(partial f)/(partial x) =\sqrt{n}\exp(-8n x^2)(-48x^2 n-32\sqrt{n}x+3) $
ora però non so come trovare il max nella derivata prima..
A calcolare il determinante di
$(-48x^2 n-32\sqrt{n}x+3) \to 48n x^2+32\sqrt{n}x-3=0$ mi esce $\Delta= (16\sqrt{n})^2-[(48n)(-3)]=256n+144n=400n$ ..
Quindi non so più andare avanti, con l'esercizio..
Risposte
per cui l'intervallo di convergenza puntuale è $E= (-\infty,0)\cup (0,+\infty)$
Perché escludi lo zero? In zero la successione converge puntualmente a due.
Secondo quale criterio scegli quell'intervallo?
per il punto 2 - convergenza uniforme
dico già subito che nell'intervallo E non vi convergenza uniforme, poichè la funzione limite non è continua.
quindi considero un $ \delta>0 $ e considero l'intervallo $ I = (-\infty, \delta)\cup(\delta,+\infty) $
"Kashaman":
per cui l'intervallo di convergenza puntuale è $E= (-\infty,0)\cup (0,+\infty)$
Perché escludi lo zero? In zero la successione converge puntualmente a due.
ah ok!.. grazie per avermi fatto notare sta cosa..se l'avessi fatto al compito, come minimo un punto di meno!
ok allora dico che l'insieme di convergenza puntuale è $E=\mathbb{R}$, esatto?
allora ho scelto l'intervallo $\delta>0$..cioè $I=(-\infty, \delta]\cup [\delta, +\infty)$
poichè la funzione $f_n$ è continua su tutto $RR$ mentre la funzione limite non lo è. La convergenza non può essere uniforme su intervalli $E$ che contengano all'interno o sulla frontiera il punto $x=0$
quindi ho scelto un sottointervallo $I$ con escluso lo $0$
Ok, puoi dire che la funzione limite non è continua, va bene, questo ne implica la non convergenza uniforme.
Ma in generale, come fai capire "dove sta il problema"? Ti ricordo che se $(f_n)_{n\in NN} $ è una successione di funzioni che converge puntualmente in $A$ ad $f$ , per verificare se $f_n$ converge puntualmente devi verificare se
$su$$p_{x\in A} | f_n(x)-f(x) | -> 0 , n->+\infty$.
Ma in generale, come fai capire "dove sta il problema"? Ti ricordo che se $(f_n)_{n\in NN} $ è una successione di funzioni che converge puntualmente in $A$ ad $f$ , per verificare se $f_n$ converge puntualmente devi verificare se
$su$$p_{x\in A} | f_n(x)-f(x) | -> 0 , n->+\infty$.
dimmi se concludo l'esercizio..in modo esatto (lascia stare i calcoli, mi interessa sapere se il procedimento è giusto per favore)
ho detto che la derivata prima della successione di funzioni è $ f_n '= \sqrt{n}\exp(-8nx^2)(-48n x^2-32\sqrt{n}x+3) $
ora calcolo $ f_n '\geq0 hArr -48nx^2-32\sqrt{n}x+3\geq 0 $
faccio una piccola sostituzione $ nx^2=y\to \sqrt{n}x=y $ poi moltiplico la disequazione per $-1$ e cambio il verso
così ottengo $ 48y^2+32y-3\leq 0 $
che ha soluzioni (se non ho fatto male i calcoli) $ y_1= (1)/(12) \vee y_2=-3/4 $
ritorniamo in $x$ e ottengo $ -(3)/(4\sqrt{n})\leq x \leq (1)/(12\sqrt{n}) $
bene, il punto di max è $x=(1)/(12\sqrt{n})$
ora per $n\to +\infty$ il punto di max tende a 0, quindi f è montona sugli intervalli
$I=(-\infty, -\delta]\cup [\delta, +\infty), \delta >0$
quindi
$ Sup_(x \leq -\delta)|f(x)-f_n(x)|=Sup_(x\leq -\delta) |\exp(-8nx^2)(3\sqrt{n}x+2)|= $
$=\exp(-8n \delta^2)(3\sqrt{n}\delta +2) \to 0$ per $n\to +\infty$
stessa cosa per l'altra parte dell'intervallo, e cioè per $[\delta, +\infty)$
Vorrei capire se il procedimento è quello giusto, così ho dimostrato che converge uniformemente, nell'intervallo $I$ giusto?
ho detto che la derivata prima della successione di funzioni è $ f_n '= \sqrt{n}\exp(-8nx^2)(-48n x^2-32\sqrt{n}x+3) $
ora calcolo $ f_n '\geq0 hArr -48nx^2-32\sqrt{n}x+3\geq 0 $
faccio una piccola sostituzione $ nx^2=y\to \sqrt{n}x=y $ poi moltiplico la disequazione per $-1$ e cambio il verso
così ottengo $ 48y^2+32y-3\leq 0 $
che ha soluzioni (se non ho fatto male i calcoli) $ y_1= (1)/(12) \vee y_2=-3/4 $
ritorniamo in $x$ e ottengo $ -(3)/(4\sqrt{n})\leq x \leq (1)/(12\sqrt{n}) $
bene, il punto di max è $x=(1)/(12\sqrt{n})$
ora per $n\to +\infty$ il punto di max tende a 0, quindi f è montona sugli intervalli
$I=(-\infty, -\delta]\cup [\delta, +\infty), \delta >0$
quindi
$ Sup_(x \leq -\delta)|f(x)-f_n(x)|=Sup_(x\leq -\delta) |\exp(-8nx^2)(3\sqrt{n}x+2)|= $
$=\exp(-8n \delta^2)(3\sqrt{n}\delta +2) \to 0$ per $n\to +\infty$
stessa cosa per l'altra parte dell'intervallo, e cioè per $[\delta, +\infty)$
Vorrei capire se il procedimento è quello giusto, così ho dimostrato che converge uniformemente, nell'intervallo $I$ giusto?
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