Successione di funzioni equilimitata e densa

[stelladinatale1]

Esiste una successione di funzioni $\{f_n\}_n$ equilimitata e densa in $C[0,1)$?
Grazie a tutti

[gugo82]

"stelladinatale":Esiste una successione di funzioni $\{f_n\}_n$ equilimitata e densa in $C[0,1)$?
Grazie a tutti

Una successione \((f_n)\) è equilimitata in \(C([0,1[)\) (con la norma dell'estremo superiore, immagino...) solo se esiste una costante \(M\geq 0\) tale che:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad \|f_n\|_\infty = \sup_{0\leq x< 1} \Big| f_n(x)\Big| \leq M\; .
\]
Una successione di questo tipo non può essere densa in \(C([0,1[)\) per un motivo banalissimo: come fai ad approssimare con le \(f_n\) la funzione \(u(x) :=M+1\)?

[stelladinatale1]

Grazie Gugo per la risposta.
E non è possibile neppure trovare una successione $\{f_n\}_n$ densa in $C[0,1)$ tale che $||f_n||_ {\infty}\leq (\frac{3}{2})^n$?