Successione di funzioni e integrabilità

[nuwanda1]

Ho fatto questo esercizio ed ho bisogno delle conferme perchè non ci sono le soluzioni sul libro... grazie della disponibilità!

Data questa successione di funzioni, definite sui naturali e considerata la misura $m$ tale che $m(k)=k^(-1)$:

$fn(k)= k^(-1/n)$ se $k>=n$, altrimenti vale $0$.

1) Queste funzioni sono integrabili??

Secondo me si, perchè ogni funzione riesco a maggiorarla con la serie $k^(-2)$ che converge...

2)conergono ad un limite f, e questo limite è integrabile??

Secondo me convergono alla funzione 0...

Scusatemi se ho scritto male la funzione ma non so come far apparrire la graffa

[nuwanda1]

Soprattutto per il secodno quesito, è vero che le funzioni $fn$ convergono alla funzione $f=0$??

[Dragon God]

La tua successione converge se 0 non è incluso nella sommatoria(che non vedo tra parentesi).Quindi da 1 a n.Basta che applichi a questo punto il criterio di integrabilità di Riemann che vale per la f.

[Paolo902]

"nuwanda":
[...] definite sui naturali e considerata la misura $m$ tale che $m(k)=k^(-1)$:

Che cosa vuol dire? Com'è definita la misura?

[nuwanda1]

Io l'ho interpetato che la misura di un singoletto ${k}$ è $k^(-1)$... e siccome è un insieme numerabile, posso fare la serie:

$sum f(k) m(k)$ con $k$ che varia tra gli interi strettamente positivi..

[Paolo902]

Capito, grazie per i chiarimenti.

[nuwanda1]

Non ho capito se la tua è stata una risposta ironica per il fatto che non abbia definito la misura nel migliore dei modi, am sul testo c'è scritto quello e non mi so muovere molto sulla misura... non sono stato chiaro e c'è ancora qualcosa che non è ben definito?

[Paolo902]

No, tranquillo\a, ero serio e la risposta non era affatto ironica.
Grazie ancora