Successione di funzioni, dubbio sullo studio della convergenza uniforme

[nostradamus19151]

Salve a tutti, avrei un dubbio. So che per studiare la convergenza uniforme devo calcolare l'estremo superiore di \(\displaystyle (f_n(x) - f(x)) \) e vedere il limite a cosa è uguale. Tuttavia, in alcuni esercizi svolti che ho trovato, ciò non viene fatto. Ne posto uno:
\(\displaystyle f_n(x) = \frac{(nx^2)*arctg(\frac{1}{nx^2})}{(1+x^2)} \)
Il limite per \(\displaystyle n->+inf \) converge a \(\displaystyle \frac{1}{(1+x^2)} \)
Quando fa il limite dell'estremo superiore, non fa la derivata di \(\displaystyle f_n(x) \) e studia per quando è \(\displaystyle 0 \), semplicemente fa il limite per n a infinito della funzione meno ciò a cui converge:
\(\displaystyle lim |\frac{(nx^2)*arctg(\frac{1}{nx^2})}{(1+x^2)} - \frac{1}{1+x^2}|\) che converge a 0 (quindi per lui converge uniformemente). Facendo la derivata, mi trovo una roba abbastanza impossibile da studiare.
Sono molto confuso

[Rigel1]

Se non specifichi l'insieme è difficile rispondere.
Su tutto \(\mathbf{R}\setminus\{0\}\) la convergenza non è uniforme (ti basta valutare la quantità nel modulo per \(x=1/\sqrt{n}\). Per avere convergenza uniforme devi escludere un intorno di \(0\).

[nostradamus19151]

Nell'esercizio non specifica l'insieme di definizione, quindi presumo sia tutto R. Ad occhio capisco che non converge per x = 0, cosa altro ci sarebbe da dire sull'esercizio?