Successione di funzioni, domanda veloce

[Giuly191]

La successione $f_n(x)=artg(nx)$ converge puntualmente su $RR$ e la funzione limite è $pi/2$,$-pi/2$,$0$ a seconda che $x_0$ sia rispettivamente $>,<,=0$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, ovviamente non converge unif. su $RR$, ma se considero intervalli del tipo $[a,+oo)(-oo,b]$ con $a>0,b<0$ ho:
$Sup_(x>=a)|artg(nx)-pi/2|=|artg(na)-pi/2||->0$ se $n->+oo$ quindi converge uniformemente in tali intervalli.
E' giusto?

[dissonance]

"Giuly19":quindi converge in tali intervalli.

Volevi dire "converge uniformemente" in tali intervalli. Si, è giusto. Questo è un esempio di successione di funzioni che ti conviene tenere in mente perché è significativo: è una successione di funzioni continue (addirittura analitiche) che converge puntualmente ad una funzione non continua.

Il motivo per cui si verifica questo fenomeno si apprezza bene se si studia il comportamento in $0$ della derivata di $f_n(x)$. Puoi verificare immediatamente che diverge a $+infty$. Questo è un tipico segnale che, anche se la successione è costituita da funzioni regolari al massimo, la funzione limite farà qualche scherzo strano.

[Giuly191]

Sì esatto, ho modificato; grazie mille anche per la dritta!