Successione di funzioni. Determinare insieme di convergenza

[75america]

Ho questa successione di funzioni: $ f_n(x)=x^2/(1+x^2)^n $ Determinare insieme di convergenza e funzione limite della successione di funzioni Stabilire se la convergenza è uniforme Raga, allora la successione è definita in tutto R, la funzione limite è f(x)=1(ci sono arrivato a logica, voi lo fareste tipo con le forme indeterminate??,datemi una mano) L'insieme di convergenza quindi qual è? Datemi una mano, please.

[ciampax]

Il limite è zero (che logica hai usato? quella delle noccioline?). Infatti, dal momento che

[math]1+x^2>1[/math]

al crescere di

[math]n[/math]

il denominatore cresce sempre di più. Pertanto

[math]\lim_{n\to+\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n}=0[/math]

Ne segue che la successione converge puntualmente su tutto

[math]\mathbb{R}[/math]

.

Per la convergenza uniforme, dobbiamo studiare il comportamento della successione

[math]a_n=\sup_{\mathbb{R}} |f_n(x)|[/math]

Calcoliamo la derivata delle funzione, ottenendo

[math]f'_n(x)=\frac{2x(1+x^2)^n-x^2\cdot n(1+x^2)^{n-1}\cdot 2x}{(1+x^2)^{2n}}=\\ =\frac{2x[1+(1-n)x^2]}{(1+x^2)^{n-1}}[/math]

la derivata si annulla in

[math]x=0,\ x=\pm\frac{1}{\sqrt{n-1}}[/math]

: questi ultimi due punti risultano punti di massimo e pertanto

[math]a_n=f_n\left(\pm \frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)=\frac{\frac{1}{n-1}}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}=\frac{1}{n-1}\cdot\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{n-1}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/math]

Ora, il secondo termine ha come limite

[math]e^{-1}[/math]

mentre il primo ha limite zero. Ne segue che

[math]\lim_{n\to+\infty} a_n=0[/math]

e quindi la serie converge uniformemente su ogni

[math][a,b]\subset \mathbb{R}[/math]