Successione di funzioni definita per punti
Carissimi dopo aver discusso le successioni di funzioni che trovate nei posts,ve ne propongo un'altra sui generis,presa dai vecchi testi degli appelli di Analisi che usai per esercitarmi.
\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} \left( \sin{\frac{1}{nx^2}}\right), & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \\ \frac{x^2}{n}, & x \in
\mathbb{Q} \end{cases}\end{equation*}
Che ve ne pare?
Il limite per n che tende all'infinito porta, entrambe la funzioni che ne costituiscono la definizione, a zero.
Quindi è verificata la convergenza puntuale.
Per quanto concerne la convergenza uniforme? Secondo voi cosa si può dire?
Un saluto
A.
\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} \left( \sin{\frac{1}{nx^2}}\right), & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \\ \frac{x^2}{n}, & x \in
\mathbb{Q} \end{cases}\end{equation*}
Che ve ne pare?
Il limite per n che tende all'infinito porta, entrambe la funzioni che ne costituiscono la definizione, a zero.
Quindi è verificata la convergenza puntuale.
Per quanto concerne la convergenza uniforme? Secondo voi cosa si può dire?
Un saluto
A.
Risposte
"Gandalf73":
Per quanto concerne la convergenza uniforme? Secondo voi cosa si può dire?
C'è su $(-\infty,-\epsilon]uu[\epsilon,+\infty),AA\epsilon>0$, ma non in $(-\epsilon,0)$ né in $(0,\epsilon)$, sempre con $\epsilon>0$.
Ciao,
pardon ma non ne sono proprio convinto.
Allora la funzione $ sin(x) $ sappiamo essere oscillante e limitata e la funzione limite $ f(x) $ risulta essere pari a zero.
Se prendessimo un $ x in RR - QQ $ come potrebbe per esempio essere $ sqrt( 2/(npi)) $ avremmo che il sup della funzione differenza tenderebbe ad 1 in modo indipendente da n (quindi anche per n tendente ad infinito) e secondo me ciò dovrebbe bastare a dire che la prima $ f_n(x) $ converge si puntualmente, ma non uniformemente.
Per la seconda invece...che si potrebbe dire?
ps correggetemi se ho detto qualche sciocchezza eh
pardon ma non ne sono proprio convinto.
Allora la funzione $ sin(x) $ sappiamo essere oscillante e limitata e la funzione limite $ f(x) $ risulta essere pari a zero.
Se prendessimo un $ x in RR - QQ $ come potrebbe per esempio essere $ sqrt( 2/(npi)) $ avremmo che il sup della funzione differenza tenderebbe ad 1 in modo indipendente da n (quindi anche per n tendente ad infinito) e secondo me ciò dovrebbe bastare a dire che la prima $ f_n(x) $ converge si puntualmente, ma non uniformemente.
Per la seconda invece...che si potrebbe dire?
ps correggetemi se ho detto qualche sciocchezza eh
Ma la seconda che? Di successioni di funzioni ce n'è solo una, solo che su insiemi diversi è definita con formule diverse. Ho notato che anche nell'altro post che avevi fatto facevi confusione dicendo che c'erano due successioni, solo perché la successione era definita in modo diverso su zone diverse del dominio, ma è comunque una la successione.
Ripensandoci, il modo in cui le funzioni sono definite sui razionali (ciò che tu chiami la "seconda" successione), fa sì che la cosa che avevo detto è sbagliata, infatti la convergenza uniforme è sugli insiemi contenuti in un compatto che non contiene lo $0$, cioè la cosa che avevo detto prima solo che gli insiemi devono pure essere limitati.
Si quello che volevo dire è che la successione converge uniformememte ma questa convergenza uniforme è dovuta a come è definita nei $QQ$ e non certo x come è definita negli $RR-QQ$..o mi sbaglio?
Quindi secondo quanto emerso dalla discussione,
possiamo concludere che se la successione di funzioni è definita con leggi diverse su insiemi differenti,
la sua convergenza uniforme può essere determinata soltanto dal suo comportamento per uno soltanto degli insiemi di definizione e non da entrambi??
possiamo concludere che se la successione di funzioni è definita con leggi diverse su insiemi differenti,
la sua convergenza uniforme può essere determinata soltanto dal suo comportamento per uno soltanto degli insiemi di definizione e non da entrambi??
Mi sa che se la successione di funzioni è definita con leggi diverse su insiemi differenti ($A$ e $B$), e puntualmente converge ad una funzione continua, allora converge uniformemente in un sottoinsieme $X$ di $RR$ se e solo se converge unif. sia su $XnnA$ e $XnnB$.
"otta96":
Ma la seconda che? Di successioni di finzioni ce n'è solo una, solo che su insiemi diversi e definita con formule diverse. Ho notato che anche nell'altro post che avevi fatto facevi confusione dicendo che c'erano due successioni, solo perché la successione era definita in modo diverso su zone diverse del dominio, ma è comunque una la successione.
Eh già. Un errore classico e (a mio avviso) bruttissimo, perché è un fraintendimento del concetto di funzione, probabilmente la nozione più fondamentale di tutta la matematica. Grazie otta per averlo sottolineato con forza.
Innanzitutto grazie a voi per le preziose delucidazioni.
Tornando al nostro caso però ci ritroviamo con una successione la cui definizione comporta:
a) una convergenza puntuale e non uniforme in $ RR -QQ $ (vedi la scelta degli x che si possono fare)
b) una convergenza uniforme in $ QQ $
La funzione limite è $ f_(x) = 0 $
In questo caso $ A = RR - QQ $ e $ B = QQ $.
In virtù del tuo ragionamento per avere la convergenza uniforme della nostra successione $ f_n(x) $,dovremmo provare che nella seconda definizione, prendendo un $ x in RR - Q $, vi sia una convergenza uniforme. Corretto?
Tornando al nostro caso però ci ritroviamo con una successione la cui definizione comporta:
a) una convergenza puntuale e non uniforme in $ RR -QQ $ (vedi la scelta degli x che si possono fare)
b) una convergenza uniforme in $ QQ $
La funzione limite è $ f_(x) = 0 $
In questo caso $ A = RR - QQ $ e $ B = QQ $.
In virtù del tuo ragionamento per avere la convergenza uniforme della nostra successione $ f_n(x) $,dovremmo provare che nella seconda definizione, prendendo un $ x in RR - Q $, vi sia una convergenza uniforme. Corretto?
"otta96":
[quote="Gandalf73"]Per quanto concerne la convergenza uniforme? Secondo voi cosa si può dire?
C'è su $(-\infty,-\epsilon]uu[\epsilon,+\infty),AA\epsilon>0$, ma non in $(-\epsilon,0)$ né in $(0,\epsilon)$, sempre con $\epsilon>0$.[/quote]
Se questo fosse vero, dovrebbe essere anche vero che \(f_n(n)\to 0\), perché \(|f_n(n)|\le \|f_n\|_{L^\infty(\mathbb R)}\).
Dovrebbe essere verificato.
Quindi la conclusione di tutto il ragionameto?
Temo però che ci stiamo girando intorno senza mettere dei punti fermi e magari mescolando un po quelle che sono le idee per alcuni formalismi:
convergenza puntuale e/o uniforme della successione definita per punti.
In poche parole converge uniformente o no la successione così definita?
Se si non certo per la prima delle due definizioni in quanto come scritto è possibile trovare dei punti che appartengono all'insieme $ RR-QQ $ per i quali non è soddisfatto il criterio di convergenza.
Quindi la conclusione di tutto il ragionameto?
Temo però che ci stiamo girando intorno senza mettere dei punti fermi e magari mescolando un po quelle che sono le idee per alcuni formalismi:
convergenza puntuale e/o uniforme della successione definita per punti.
In poche parole converge uniformente o no la successione così definita?
Se si non certo per la prima delle due definizioni in quanto come scritto è possibile trovare dei punti che appartengono all'insieme $ RR-QQ $ per i quali non è soddisfatto il criterio di convergenza.
"dissonance":
Eh già. Un errore classico e (a mio avviso) bruttissimo, perché è un fraintendimento del concetto di funzione, probabilmente la nozione più fondamentale di tutta la matematica. Grazie otta per averlo sottolineato con forza.
È una cosa che sta a cuore anche a me, infatti non capisco perché alcuni trattano le funzioni definite per casi come funzioni strane, ad esempio, ogni tanto mi diverto a chiedere qualche controesempio ai miei amici, talvolta capita che non ci arrivano, mi chiedono la risposta che è una funzione definita per casi, e loro esclamano "ma è definita per casi, non vale!", "ma non vale cosa?!?" penso io, "è una funzione normalissima".
Tutto questo ambaradan per far capire che anche io sono contrario a questa "discriminazione" verso le funzioni definite per casi.
Tornando al nostro discorso, si sarà forse capito che tutti i messaggi che ho mandato per ora erano cose a cui avevo pensato semplicemente a mente, quindi fortemente suscettibili di errori.
Infatti la prima cosa che avevo scritto è sbagliata, come mi ero accorto (infatti ho corretto) e ha sottolineato dissonance (anche se sinceramente non ho capito il suo argomento).
Comunque, su $QQ$ la convergenza non è uniforme, perché $AAn\inNN,\text{sup}_QQ|f_n|=+\infty$ perché $lim_{n->+\infty}f(n)=lim_{n->+\infty}n=+\infty$.
Per voler formalizzare quello che avevo già detto, osservo che la funzione è pari, quindi studio la convergenza solo per $x$ non negativi.
Sia $X=[a,b],0
Sia $X=(0,a)$, sia $a_n=sqrt(2/(pin))$, si nota subito che $a_n>0,AAn;lim_{n->+\infty}a_n=0$ e che $f(a_n)=1,AAn$, si deduce che $AAa>0,a_n\in(0,a)$ definitivamente, quindi $\text{sup}_X|f_n|=1$, quindi non c'è convergenza uniforme.
Ciao Otta,
in primis grazie per la esaustiva spiegazione (e dimostrazione) della non convergenza uniforme.
Alcune piccole domande:
nel tuo post consideri $ NN $ come sottoinsieme di $ QQ $. Corretto?
Relativamente alla successione di punti $ a_n=sqrt(2/pin) $, $ n $ se non erro andrebbe al denominatore (nella rappresentazione del generico termine). Corretto?
Un saluto e....buon anno a tutti!!
in primis grazie per la esaustiva spiegazione (e dimostrazione) della non convergenza uniforme.
Alcune piccole domande:
nel tuo post consideri $ NN $ come sottoinsieme di $ QQ $. Corretto?
Relativamente alla successione di punti $ a_n=sqrt(2/pin) $, $ n $ se non erro andrebbe al denominatore (nella rappresentazione del generico termine). Corretto?
Un saluto e....buon anno a tutti!!
"Gandalf73":
Ciao Otta,
in primis grazie per la esaustiva spiegazione (e dimostrazione) della non convergenza uniforme.
Prego
nel tuo post consideri $ NN $ come sottoinsieme di $ QQ $. Corretto?
Intendi quando dico che $ AAn\inNN,\text{sup}_QQ|f_n|=+\infty $ perché $ lim_{n->+\infty}f(n)=+\infty $? Se sì, la risposta è sì.
A parte che mi sono accorto che il motivo andrebbe un po' aggiustato, cioè: il motivo per cui $AAn\inNN,\text{sup}_QQ|f_n|=+\infty$ è che $AAn\inNN,lim_{k->+\infty}f_n(k)=lim_{k->+\infty}k^2/n=+\infty$, ora va meglio.
Relativamente alla successione di punti $ a_n=sqrt(2/pin) $, $ n $ se non erro andrebbe al denominatore (nella rappresentazione del generico termine). Corretto?
Un saluto e....buon anno a tutti!!
Si, certamente, hai ragione, non mi ero accorto che mi sono dimenticato le parentesi, ora aggiusto.
E buon anno nuovo a tutti!
Ciao Otta,
ho solo due piccoli dubbi.
Il primo riguarda il K che si fissa.
Ovviamente dovrà essere dipendente da $ n $,corretto? (tipo $ n/m $ etc etc)
Il secondo dubbio riguarda il ragionamento seguito per pervenire alla conclusione.
Il fatto dell'intervallo chiuso e limitato, non lo si può replicare di pari passo con gli $ RR - QQ $ e con i $ QQ $ ?
Cioè quello che mi chiedo è che la soluzione è dettata dalla "definitiva" monotonia delle due funzioni e dal vincolo del dominio imposto dal testo (senza estremi).O mi sbaglio?
Un saluto
ps In molti testi ho visto seguire le tracce della convergenza uniforme in intervalli chiusi e limitati di $ RR $
ho solo due piccoli dubbi.
Il primo riguarda il K che si fissa.
Ovviamente dovrà essere dipendente da $ n $,corretto? (tipo $ n/m $ etc etc)
Il secondo dubbio riguarda il ragionamento seguito per pervenire alla conclusione.
Il fatto dell'intervallo chiuso e limitato, non lo si può replicare di pari passo con gli $ RR - QQ $ e con i $ QQ $ ?
Cioè quello che mi chiedo è che la soluzione è dettata dalla "definitiva" monotonia delle due funzioni e dal vincolo del dominio imposto dal testo (senza estremi).O mi sbaglio?
Un saluto
ps In molti testi ho visto seguire le tracce della convergenza uniforme in intervalli chiusi e limitati di $ RR $
"Gandalf73":
Ciao Otta,
ho solo due piccoli dubbi.
Il primo riguarda il K che si fissa.
Ovviamente dovrà essere dipendente da $ n $,corretto? (tipo $ n/m $ etc etc)
Ciao Gandalf, non capisco di che $k$ tu stia parlando, perché mi sembra che l'unica volta in cui $k$ compare sia nel mio ultimo messaggio, ma lì $k$ non è fisso, ma lo uso come variabile muta, se ci fai caso io faccio il limite su $k$, quindi quello che sto realmente dicendo è che per ognuna delle funzioni della successione se la si calcola nella successione dei numeri naturali si ottiene una successione divergente.
Il secondo dubbio riguarda il ragionamento seguito per pervenire alla conclusione.
Il fatto dell'intervallo chiuso e limitato, non lo si può replicare di pari passo con gli $ RR - QQ $ e con i $ QQ $ ?
Cioè quello che mi chiedo è che la soluzione è dettata dalla "definitiva" monotonia delle due funzioni e dal vincolo del dominio imposto dal testo (senza estremi).O mi sbaglio?
Un saluto
Consideriami le successioni di funzioni $g_n=x^2/n$ e $h_n=sin(1/(nx^2))$, che sono successioni di funzioni che sono diverse entrambe da quella dell'esercizio, ma che può essere utile definire per l'esercizio.
Te mi stai chiedendo (correggimi se sbaglio) se il ragionamento fatto per $f_n$ sugli intervalli chiusi e limitati (che non contengono lo $0$) si può fare anche su $QQ$ e $RR\setminusQQ$, la risposta è che, dato che sia $g_n$ che $h_n$ convergono puntualmente alla stessa funzione continua, si potrebbe fare come dici tu se entrambe ci convergessero uniformemente su $RR$, ma $g_n$ ha la convergenza uniforme sugli intervalli limitati e chiusi, mentre $h_n$ ce l'ha sugli intervalli chiusi che non contengono lo $0$, quindi le zone dove c'è convergenza di $f_n$ sono gli intervalli limitati e chiusi che non contengono $0$.
Ciao Otta,vado per ordine.Quando si intende K come variabile muta non si rischia di fare confusione con n variabile muta anch'essa?Il rapporto tra K ed n le conterrebbe entrambe.Dicevo quindi se fosse errato chiamare K il rapporto tra due numeri (n/m) ed agire di conseguenza soltanto su n.Con riferimento al secondo punto,mi chiedevo se non esistessero intervalli chiusi e limitati che avessero al loro interno un numero $ RR - QQ $ ed un numero $ QQ $ estremi superiori il cui il limite per n tendente ad infinito facesse convergere le due $ f_n $ verso lo 0 (stesso ragionamento usato x dimostrare l'uniforme convergenza in intervalli chiusi e limitati di $RR$).Un saluto ed un grazie.A.
Ma $k$ non è qualcosa che dipende da $n$, come mi sembra che tu pensi, ma è solo un indice che scorre nei numeri naturali.
Per quanto riguarda l'altro discorso continuo a non capire cosa intendi, però mi è venuta un idea: fai i calcoli che hai in mente così sicuramente capisco cosa vuoi dire e ti posso dire cosa ne penso.
Per quanto riguarda l'altro discorso continuo a non capire cosa intendi, però mi è venuta un idea: fai i calcoli che hai in mente così sicuramente capisco cosa vuoi dire e ti posso dire cosa ne penso.
Ciao Otta,
quello che non capisco è come leghi le seguenti relazioni:
$ EE{q_n}_(n\inNN)\subXnnQQ $
$ lim_{n->+\infty}q_n=+\infty $
$ lim_{n->+\infty}f(n)=lim_{n->+\infty}n=+\infty $
con K $ in QQ $ che tende anch'esso all'infinito (e credo allo stesso modo di n).
A mio avviso si potrebbe semplificare il ragionamento prendendo un numero $ in QQ $ come $ k= frac{n}{m} $ e dovrebbe risultare tutto molto più "visibile".Ovviamente se n va all'infinito ci va anche k....(successione di numeri razionali)
Sbaglio qualcosa?
Per quanto riguarda il secondo punto...chiarito tutto stavo solo pensando in modo "maldestro"...
quello che non capisco è come leghi le seguenti relazioni:
$ EE{q_n}_(n\inNN)\subXnnQQ $
$ lim_{n->+\infty}q_n=+\infty $
$ lim_{n->+\infty}f(n)=lim_{n->+\infty}n=+\infty $
con K $ in QQ $ che tende anch'esso all'infinito (e credo allo stesso modo di n).
A mio avviso si potrebbe semplificare il ragionamento prendendo un numero $ in QQ $ come $ k= frac{n}{m} $ e dovrebbe risultare tutto molto più "visibile".Ovviamente se n va all'infinito ci va anche k....(successione di numeri razionali)
Sbaglio qualcosa?
Per quanto riguarda il secondo punto...chiarito tutto stavo solo pensando in modo "maldestro"...
Ma il punto è che la successione che indicizza $k$, non dipende da $n$, che non è altro che un indice per indicare di quale funzione sto parlando, come se avessi una famiglia di funzioni ${f_i}_(i\inI)$ e per ognuna di esse volessi fare il $lim_{n\to+\infty}f_i(n)$, solo che stavolta come indice della famiglia c'è $n$, quindi per svolgere il ruolo di quello che nell'esempio ho chiamato $n$ devo usare un altro indice, ho deciso di usare $k$.
Riguardo a quella ipotesi $EE{q_n}_(n\inNN)$ ecc. era semplicemente un ipotesi sul dominio, avrei potuto scrivere "Sia $X=[a,+\infty),a\inRR$, allora non c'è convergenza uniforme su $X$" (con la giustificazione), solo che la vera ipotesi da fare sul dominio per fare quella dimostrazione è che $XnnQ$ sia illimitato superiormente, per questo ho fatto in quel modo.
Riguardo a quella ipotesi $EE{q_n}_(n\inNN)$ ecc. era semplicemente un ipotesi sul dominio, avrei potuto scrivere "Sia $X=[a,+\infty),a\inRR$, allora non c'è convergenza uniforme su $X$" (con la giustificazione), solo che la vera ipotesi da fare sul dominio per fare quella dimostrazione è che $XnnQ$ sia illimitato superiormente, per questo ho fatto in quel modo.
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