Successione di funzioni definita per punti
Carissimi dopo aver discusso le successioni di funzioni che trovate nei posts,ve ne propongo un'altra sui generis,presa dai vecchi testi degli appelli di Analisi che usai per esercitarmi.
\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} \left( \sin{\frac{1}{nx^2}}\right), & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \\ \frac{x^2}{n}, & x \in
\mathbb{Q} \end{cases}\end{equation*}
Che ve ne pare?
Il limite per n che tende all'infinito porta, entrambe la funzioni che ne costituiscono la definizione, a zero.
Quindi è verificata la convergenza puntuale.
Per quanto concerne la convergenza uniforme? Secondo voi cosa si può dire?
Un saluto
A.
\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} \left( \sin{\frac{1}{nx^2}}\right), & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \\ \frac{x^2}{n}, & x \in
\mathbb{Q} \end{cases}\end{equation*}
Che ve ne pare?
Il limite per n che tende all'infinito porta, entrambe la funzioni che ne costituiscono la definizione, a zero.
Quindi è verificata la convergenza puntuale.
Per quanto concerne la convergenza uniforme? Secondo voi cosa si può dire?
Un saluto
A.
Risposte
Si tutto corretto.
Credo però si possa fare anche fissando una successione di numeri razionali $ n/m $.
Imposto m e facendo tendere n all'infinito otterremmo la stessa cosa con $ f_n (frac{n}{m}) $ .Ti torna?
Le ultime due cose necessarie per capire a fondo (perdonami
) :
che si intende per $ X^n $ (preciso che ho compreso esattamente il fatto dell' "illimitatezza" di $ XnnQ $ dettata dal testo dell'esercizio)
ed ovviamente per i K si intendono numeri naturali considerati come sottoinsieme di $ QQ $. Corretto?
Un saluto e grazie ancora
ps scusami i dettagli ma da questi capisco a fondo anche tutto quello che c'è dietro.
Credo però si possa fare anche fissando una successione di numeri razionali $ n/m $.
Imposto m e facendo tendere n all'infinito otterremmo la stessa cosa con $ f_n (frac{n}{m}) $ .Ti torna?
Le ultime due cose necessarie per capire a fondo (perdonami
) :che si intende per $ X^n $ (preciso che ho compreso esattamente il fatto dell' "illimitatezza" di $ XnnQ $ dettata dal testo dell'esercizio)
ed ovviamente per i K si intendono numeri naturali considerati come sottoinsieme di $ QQ $. Corretto?
Un saluto e grazie ancora
ps scusami i dettagli ma da questi capisco a fondo anche tutto quello che c'è dietro.
"Gandalf73":
Si tutto corretto.
Credo però si possa fare anche fissando una successione di numeri razionali $ n/m $.
Imposto m e facendo tendere n all'infinito otterremmo la stessa cosa con $ f_n (frac{n}{m}) $ .Ti torna?
Credosi possa fare anche così.
che si intende per $ X^n $
Da dove è saltato fuori questo $X^n$?
ed ovviamente per i K si intendono numeri naturali considerati come sottoinsieme di $ QQ $. Corretto?
Un saluto e grazie ancora
ps scusami i dettagli ma da questi capisco a fondo anche tutto quello che c'è dietro.
Si corretto, prego di nuovo
Da dove è saltato fuori questo $ X^n $ ?
Pardon...gli anni si sentono...la miopia!
Sono le virgolette che hai chiuso
Thanks a lot....
Alessandro
ps ne ho altre di successioni simili definite in modo un po.."particolare"...in caso le posto e ben felice se possano essere di comune utilità se non altro per spadroneggiare sull'argomento!
Se ti va postale, vediamo che ne viene fuori.
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