Successione di funzioni con termini iperbolici
Carissimi,come promesso,
procedo con l'inserimento e la soluzione delle successioni di funzioni definite in modo non usuale che potrebbero avere un metodo risolutivo non "classico".
Il testo:
$$ \begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} \sqrt{n^2 + nx}-n, &0\le x \le \frac{2n}{n+1}\\ \cosh{(\frac{x}{n})}, & \frac{2n}{n+1} < x \le 4\pi \end{cases}\end{equation*} $$
Per quanto riguarda il secondo insieme di definizione possiamo vedere che $ \lim_{n\to +\infty}f_n(x)=1$.
Ora si può constatare che
\begin{align*} &\lim_{\substack{Sup \ x \ \in \ {I} \\ n \to +\infty}} |f_n(x) - f(x)| = 0 \end{align*}
Il Sup è assunto nell'estremo superiore dell'intervallo (la derivata mostra come la funzione sia sempre crescente nel set di definizione).
Il limite di detta funzione tende a zero.
Riferendoci al primo intervallo si calcola $ f(x)=\lim_{n\to +\infty}f_n(x)= \frac{x}{2} $
e che
\begin{align*} &\lim_{\substack{Sup \ x \ \in \ {I} \\ n \to +\infty}} |f_n(x) - f(x)| = 0 \end{align*}
ha il sup nel'estremo inferiore dell'intervallo ossia in $ x=0 $ (derivata sempre decrescente).
Visto che anche qui il limite è pari a zero,
mi porterebbe a concludere che la successione in questione,
converge uniformemente in tutto il suo intervallo di definizione.
Vi risulta qualcosa di errato in tutto ciò?
Non sono convinto del calcolo dei limiti in $ x= Sup $.
Un saluto ed un grazie a tutti.
procedo con l'inserimento e la soluzione delle successioni di funzioni definite in modo non usuale che potrebbero avere un metodo risolutivo non "classico".
Il testo:
$$ \begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} \sqrt{n^2 + nx}-n, &0\le x \le \frac{2n}{n+1}\\ \cosh{(\frac{x}{n})}, & \frac{2n}{n+1} < x \le 4\pi \end{cases}\end{equation*} $$
Per quanto riguarda il secondo insieme di definizione possiamo vedere che $ \lim_{n\to +\infty}f_n(x)=1$.
Ora si può constatare che
\begin{align*} &\lim_{\substack{Sup \ x \ \in \ {I} \\ n \to +\infty}} |f_n(x) - f(x)| = 0 \end{align*}
Il Sup è assunto nell'estremo superiore dell'intervallo (la derivata mostra come la funzione sia sempre crescente nel set di definizione).
Il limite di detta funzione tende a zero.
Riferendoci al primo intervallo si calcola $ f(x)=\lim_{n\to +\infty}f_n(x)= \frac{x}{2} $
e che
\begin{align*} &\lim_{\substack{Sup \ x \ \in \ {I} \\ n \to +\infty}} |f_n(x) - f(x)| = 0 \end{align*}
ha il sup nel'estremo inferiore dell'intervallo ossia in $ x=0 $ (derivata sempre decrescente).
Visto che anche qui il limite è pari a zero,
mi porterebbe a concludere che la successione in questione,
converge uniformemente in tutto il suo intervallo di definizione.
Vi risulta qualcosa di errato in tutto ciò?
Non sono convinto del calcolo dei limiti in $ x= Sup $.
Un saluto ed un grazie a tutti.
Risposte
Su questo dovremmo essere d'accordo:
$[0 lt= x lt= 2] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=lim_(n->+oo)sqrt(n^2+nx)-n=x/2] rarr$
$rarr$ Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup $|sqrt(n^2+nx)-n-x/2|=$Sup $[x/2+n-sqrt(n^2+nx)]$
$[2 lt x lt= 4\pi] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=lim_(n->+oo)cosh(x/n)=1] rarr $
$rarr$ Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup $|cosh(x/n)-1|=$Sup $[cosh(x/n)-1]$
Tra l'altro, è possibile liberarsi dei valori assoluti. Immagino che tu abbia derivato le seguenti:
$[0 lt= x lt= 2] ^^ $Sup $[x/2+n-sqrt(n^2+nx)]$
$[2 lt x lt= 4\pi] ^^ $Sup $[cosh(x/n)-1]$
Non ho capito di che cosa non sei sicuro.
Come non detto: il limite di detta funzione è zero.
Probabilmente intendevi scrivere derivata sempre negativa.
$[0 lt= x lt= 2] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=lim_(n->+oo)sqrt(n^2+nx)-n=x/2] rarr$
$rarr$ Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup $|sqrt(n^2+nx)-n-x/2|=$Sup $[x/2+n-sqrt(n^2+nx)]$
$[2 lt x lt= 4\pi] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=lim_(n->+oo)cosh(x/n)=1] rarr $
$rarr$ Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup $|cosh(x/n)-1|=$Sup $[cosh(x/n)-1]$
Tra l'altro, è possibile liberarsi dei valori assoluti. Immagino che tu abbia derivato le seguenti:
$[0 lt= x lt= 2] ^^ $Sup $[x/2+n-sqrt(n^2+nx)]$
$[2 lt x lt= 4\pi] ^^ $Sup $[cosh(x/n)-1]$
Non ho capito di che cosa non sei sicuro.
"Gandalf73":
Il limite di detta funzione tende a zero.
Come non detto: il limite di detta funzione è zero.
"anonymous_0b37e9":
Una precisazione. Nella definizione $[lim_(n->+oo)a_n=l]$ si può dire che:
1. La successione $a_n$ tende al limite $l$.
2. Il limite della successione $a_n$ è $l$.
ma non ha alcun senso dire che il limite tende a $l$. Insomma, se la successione tende a $l$, il limite è $l$.
"Gandalf73":
... derivata sempre decrescente ...
Probabilmente intendevi scrivere derivata sempre negativa.
Ciao e grazie per il tuo supporto.
Dunque riguardo $ [cosh(x/n)-1] $ vediamo che la derivata prima è sempre maggiore di zero, ne consegue che la funzione nell'intervallo interessato assume il Sup in $ x= 4pi $ ed il limite (non difficile da calcolare) è 0.
Nell'insieme di definizione la successione converge uniformemente.
Veniamo al primo set.
La funzione : $ [x/2+n-sqrt(n^2+nx)] $ ha derivata negativa (comunque $ |f_n(x) - f(x)| $) e conseguentemente all'insieme di definizione il Sup è assunto in $ x=0 $.
La mia difficoltà risiede nel calcolo di questo secondo limite ( primo set di definizione della $ f_n(x) $ ).
L'ho ricavato on line da un sito.
Analiticamente non afferro il trucco per dimostrare che sia zero.
Sono riuscito a dimostrare che $ f(x)=x/2 $ ma non che $ |f_n(x) - f(x) | = 0 $ con $ x = 0 $ per $ n->+\infty $ .
Stando così le cose anche qui si ha convergenza uniforme nell'insieme di definizione.
Il tutto è anche dimostrato graficamente
Un saluto ed un grazie
A.
Dunque riguardo $ [cosh(x/n)-1] $ vediamo che la derivata prima è sempre maggiore di zero, ne consegue che la funzione nell'intervallo interessato assume il Sup in $ x= 4pi $ ed il limite (non difficile da calcolare) è 0.
Nell'insieme di definizione la successione converge uniformemente.
Veniamo al primo set.
La funzione : $ [x/2+n-sqrt(n^2+nx)] $ ha derivata negativa (comunque $ |f_n(x) - f(x)| $) e conseguentemente all'insieme di definizione il Sup è assunto in $ x=0 $.
La mia difficoltà risiede nel calcolo di questo secondo limite ( primo set di definizione della $ f_n(x) $ ).
L'ho ricavato on line da un sito.
Analiticamente non afferro il trucco per dimostrare che sia zero.
Sono riuscito a dimostrare che $ f(x)=x/2 $ ma non che $ |f_n(x) - f(x) | = 0 $ con $ x = 0 $ per $ n->+\infty $ .
Stando così le cose anche qui si ha convergenza uniforme nell'insieme di definizione.
Il tutto è anche dimostrato graficamente
Un saluto ed un grazie
A.
Veramente, poiché:
l'estremo superiore è assunto per $[x=2]$:
A rigore:
Ma poiché:
il confronto non è necessario:
In definitiva, la convergenza è uniforme per $[0 lt= x lt= 4\pi]$.
$[0 lt= x lt= 2] rarr [(d(x/2+n-sqrt(n^2+nx)))/(dx)=(sqrt(n^2+nx)-n)/(2sqrt(n^2+nx)) gt= 0]$
l'estremo superiore è assunto per $[x=2]$:
Sup $[x/2+n-sqrt(n^2+nx)]=1+n-sqrt(n^2+2n)$
A rigore:
$[0 lt= x lt= 4\pi] rarr $Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup ${cosh((4\pi)/n)-1;1+n-sqrt(n^2+2n)}$
Ma poiché:
$lim_(n->+oo)cosh((4\pi)/n)-1=0$
$lim_(n->+oo)1+n-sqrt(n^2+2n)=lim_(n->+oo)1/(1+n+sqrt(n^2+2n))=0$
il confronto non è necessario:
$cosh((4\pi)/n)-1 lt 1+n-sqrt(n^2+2n)$
In definitiva, la convergenza è uniforme per $[0 lt= x lt= 4\pi]$.
Grazie per i tuoi preziosi dettagli.Una sola cosa non mi convince: parli di "confronto non necessario". E' una successione definita in due insiemi diversi tra loro e completamente separati e...converge su entrambi. Il confronto a cosa sarebbe indirizzato e su quali elementi verte?Quello che dico io nn può capitare in successioni siffatte che su insiemi diversi e separati,l una converga e l altra no?Nel caso, è lecito dire, LA successione converge uniformememte SOLTANTO nell insieme A o in B?
"Gandalf73":
Il confronto ...
A rigore, se si vuole dimostrare che la convergenza è uniforme per $[0 lt= x lt= 4\pi]$, si deve valutare:
Sup $|f_n(x)-f(x)|$
per $[0 lt= x lt= 4\pi]$, cioè, si deve valutare:
Sup ${cosh((4\pi)/n)-1;1+n-sqrt(n^2+2n)}$
Quindi:
$[cosh((4\pi)/n)-1 lt 1+n-sqrt(n^2+2n)] rarr[$Sup$=1+n-sqrt(n^2+2n)]$
$[cosh((4\pi)/n)-1 gt 1+n-sqrt(n^2+2n)] rarr[$Sup$=cosh((4\pi)/n)-1]$
Inoltre, nel caso in cui le condizioni di cui sopra dipendano da $n$, a volte sarebbe necessario valutare:
Sup$=1+n-sqrt(n^2+2n)$
altre volte sarebbe necessario valutare:
Sup$=cosh((4\pi)/n)-1$
Tuttavia, in questo caso:
$AA n gt= 1 : cosh((4\pi)/n)-1 lt 1+n-sqrt(n^2+2n)$
cioè, indipendentemente da $n$:
Sup$=1+n-sqrt(n^2+2n)$
è possibile concludere più che agevolmente:
$lim_(n->+oo)1+n-sqrt(n^2+2n)=0$
Se non fosse stato questo il caso (anche se, spesso, esistendo almeno un $barn$ tale che, per $n gt barn$, una delle due condizioni è soddisfatta, è possibile ricondursi a questo), non c'è ombra di dubbio che convenga concludere per altra via, cioè, dimostrando le seguenti:
$[lim_(n->+oo)cosh((4\pi)/n)-1=0] ^^ [lim_(n->+oo)1+n-sqrt(n^2+2n)=0]$
Spero di essermi spiegato. Sono cose un po' sottili.
Benissimo,
adesso mi è chiara perfettamente la sottigliezza.
Il tutto per poter estendere l'uniforme convergenza di siffatte successioni ad un unico intervallo [a,b].Credo però che siano state pensate per essere studiate separatamente per ogni intervallo di definizione, ossia nei due intervalli.
Tanto è vero che ne ho un'altra ,già risolta , non inserita nel forum , che appunto per come è stata studiata , presenta l'uniforme convergenza in un intervallo ma nell'altro solo quella puntuale.
Quindi non nella totalità dell'intervallo ma in "pezzi" di quest'ultimo.
Se vuoi la posto e magari potrà essere di aiuto a qualcuno nel comprendere questa parte della matematica.
Un saluto
Alessandro
adesso mi è chiara perfettamente la sottigliezza.
Il tutto per poter estendere l'uniforme convergenza di siffatte successioni ad un unico intervallo [a,b].Credo però che siano state pensate per essere studiate separatamente per ogni intervallo di definizione, ossia nei due intervalli.
Tanto è vero che ne ho un'altra ,già risolta , non inserita nel forum , che appunto per come è stata studiata , presenta l'uniforme convergenza in un intervallo ma nell'altro solo quella puntuale.
Quindi non nella totalità dell'intervallo ma in "pezzi" di quest'ultimo.
Se vuoi la posto e magari potrà essere di aiuto a qualcuno nel comprendere questa parte della matematica.
Un saluto
Alessandro
"Gandalf73":
Credo però che siano state pensate per essere studiate separatamente per ogni intervallo di definizione, ossia nei due intervalli.
Tanto varrebbe assegnare due esercizi completamente indipendenti. Ovviamente, la convergenza uniforme su due intervalli distinti è equivalente alla convergenza uniforme sull'unione dei due intervalli. Insomma, si tratta di una questione di gusti.
"Gandalf73":
Se vuoi la posto ...
Ok.
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