Successione di funzioni con arcotangente
Sto studiando il carattere di questa successione di funzioni:
$ f_n(x) = (nx^2)/(1+x^2) arctan(1/(nx^2)) $.
Per $ x!=0 $, la successione converge puntualmente alla funzione $ f(x) = 1/(1+x^2) $.
Il problema è ora verificare la convergenza uniforme.
Infatti:
$ |f_n(x) - f(x)| = |(nx^2 arctan(1/(nx^2)) - 1) / (1+x^2)| $.
A questo punto non so come procedere. Ho provato con varie maggiorazioni, ma sono tutte inutili (tutte quelle che ho provato non mi dicono nulla sulla convergenza della funzione). Ho provato derivando, ma non riesco a capire dalla derivata la crescenza e la decrescenza perché è troppo complicata (presenta arcotangenti miste a polinomi).
Vi viene in mente qualche maggiorazione che potrei usare per verificare questa convergenza uniforme?
$ f_n(x) = (nx^2)/(1+x^2) arctan(1/(nx^2)) $.
Per $ x!=0 $, la successione converge puntualmente alla funzione $ f(x) = 1/(1+x^2) $.
Il problema è ora verificare la convergenza uniforme.
Infatti:
$ |f_n(x) - f(x)| = |(nx^2 arctan(1/(nx^2)) - 1) / (1+x^2)| $.
A questo punto non so come procedere. Ho provato con varie maggiorazioni, ma sono tutte inutili (tutte quelle che ho provato non mi dicono nulla sulla convergenza della funzione). Ho provato derivando, ma non riesco a capire dalla derivata la crescenza e la decrescenza perché è troppo complicata (presenta arcotangenti miste a polinomi).
Vi viene in mente qualche maggiorazione che potrei usare per verificare questa convergenza uniforme?
Risposte
Le $f_n$ possono essere prolungate con continuità a tutto $\mathbb{R}$ ponendo $f_n(0) = 0$.
A questo punto, il limite puntuale esiste anche per $x=0$, e si ha $f(0) = 0$.
Dal momento che $f$ non è una funzione continua, mentre le $f_n$ così prolungate sono continue, la convergenza non può essere uniforme (su tutto $\mathbb{R}$).
A questo punto, il limite puntuale esiste anche per $x=0$, e si ha $f(0) = 0$.
Dal momento che $f$ non è una funzione continua, mentre le $f_n$ così prolungate sono continue, la convergenza non può essere uniforme (su tutto $\mathbb{R}$).
Grazie della precisazione sulla possibilità di prolungare le $f_n$!
Comunque il problema è soprattutto che devo trovare gli insiemi di convergenza, non soltanto verificare se converge su tutto $RR$.
Comunque il problema è soprattutto che devo trovare gli insiemi di convergenza, non soltanto verificare se converge su tutto $RR$.
Ho provato ancora a risolvere in qualche modo il problema, ma non mi viene in mente proprio nessuna maggiorazione.
Ho provato maggiorando l'arcotangente con $pi/2$, ma la maggiorazione non mi dice niente sul carattere della serie.
Ho provato maggiorando anche in altri modi, ad esempio togliendo quel $-1$ per semplificare la derivata, ma comunque viene troppo complicata da studiare.
Ho provato maggiorando l'arcotangente con $pi/2$, ma la maggiorazione non mi dice niente sul carattere della serie.
Ho provato maggiorando anche in altri modi, ad esempio togliendo quel $-1$ per semplificare la derivata, ma comunque viene troppo complicata da studiare.
Ok, forse ci sono riuscito, facendo la derivata che (a meno di errori di calcolo) è:
$ (2 ((n x + n^3 x^5) arctan(1/(n x^2)) - n^2 x^3 + x))/((1 + x^2)^2 (1 + n^2 x^4)) $
Pensandoci meglio, questa si dovrebbe annullare soltanto in 0, quindi dovrei aver risolto.
Grazie dell'aiuto, fatemi sapere se ho detto una stronzata
$ (2 ((n x + n^3 x^5) arctan(1/(n x^2)) - n^2 x^3 + x))/((1 + x^2)^2 (1 + n^2 x^4)) $
Pensandoci meglio, questa si dovrebbe annullare soltanto in 0, quindi dovrei aver risolto.
Grazie dell'aiuto, fatemi sapere se ho detto una stronzata
Okok allora il procedimento che avevo pensato era giusto, perché la derivata si annulla soltanto in 0. Grazie! (EDIT: Non vedo più il secondo post di Rigel!)
Ho avuto problemi anche con quest'altra, sempre per dimostrare se converge uniformemente o no:
$ n[ cos(x-1/n) - cosx ], x in [0, 2\pi] $
Mi trovo che converge puntualmente a $ sinx $.
Ho quindi da studiare:
$ | f_n(x) - f(x) | = |n(cos(x-1/n) - cos(x)) - sinx| $
Anche qui ho provato varie semplificazioni, ecc., ma non riesco né a maggiorare né a trovare i punti di massimo e minimo della funzione.
Ho avuto problemi anche con quest'altra, sempre per dimostrare se converge uniformemente o no:
$ n[ cos(x-1/n) - cosx ], x in [0, 2\pi] $
Mi trovo che converge puntualmente a $ sinx $.
Ho quindi da studiare:
$ | f_n(x) - f(x) | = |n(cos(x-1/n) - cos(x)) - sinx| $
Anche qui ho provato varie semplificazioni, ecc., ma non riesco né a maggiorare né a trovare i punti di massimo e minimo della funzione.
La derivata ha il segno sbagliato; tieni conto che $\arctan (y) < y$ per ogni $y>0$, dunque
$|f_n(x) - f(x)| = f(x) - f_n(x)$ per ogni $x$.
Detto questo, è vero che la derivata si annulla solo in $x=0$, e che la funzione $f-f_n$ è monotona decrescente per $x>0$ (anche se tutto ciò non mi sembra immediato da dimostrare).
Di conseguenza la successione $(f_n)$ converge uniformemente negli insiemi del tipo $\mathbb{R}\setminus A$, con $A$ contenente un intorno dell'origine.
Edit: mi riferisco al penultimo post.
$|f_n(x) - f(x)| = f(x) - f_n(x)$ per ogni $x$.
Detto questo, è vero che la derivata si annulla solo in $x=0$, e che la funzione $f-f_n$ è monotona decrescente per $x>0$ (anche se tutto ciò non mi sembra immediato da dimostrare).
Di conseguenza la successione $(f_n)$ converge uniformemente negli insiemi del tipo $\mathbb{R}\setminus A$, con $A$ contenente un intorno dell'origine.
Edit: mi riferisco al penultimo post.
"abral":
Okok allora il procedimento che avevo pensato era giusto, perché la derivata si annulla soltanto in 0. Grazie! (EDIT: Non vedo più il secondo post di Rigel!)
Ho avuto problemi anche con quest'altra, sempre per dimostrare se converge uniformemente o no:
$ n[ cos(x-1/n) - cosx ], x in [0, 2\pi] $
Mi trovo che converge puntualmente a $ sinx $.
Ho quindi da studiare:
$ | f_n(x) - f(x) | = |n(cos(x-1/n) - cos(x)) - sinx| $
Anche qui ho provato varie semplificazioni, ecc., ma non riesco né a maggiorare né a trovare i punti di massimo e minimo della funzione.
Qui basta scrivere (usando le formule di somma per il coseno)
$|f_n(x) -f(x)| = |\cos x \frac{cos(1/n) - 1}{1/n} + \sin x (\frac{\sin(1/n)}{1/n} - 1)| \le |\frac{cos(1/n) - 1}{1/n} | + |\frac{\sin(1/n)}{1/n} - 1|$
e l'ultimo termine tende a $0$ per $n\to +\infty$.
Grazie per l'aiuto.
Scusa ma non ho proprio capito che cos'hai fatto per la seconda successione...
Per quanto riguarda la prima, vedere che si annullava soltanto per $x=0$ era semplice, poi non ho visto gli intervalli di monotonia, ma ho calcolato i limiti a infinito e così facendo ho visto che il sup della funzione è assunto in $x=0$.
Scusa ma non ho proprio capito che cos'hai fatto per la seconda successione...
Per quanto riguarda la prima, vedere che si annullava soltanto per $x=0$ era semplice, poi non ho visto gli intervalli di monotonia, ma ho calcolato i limiti a infinito e così facendo ho visto che il sup della funzione è assunto in $x=0$.
"abral":
Scusa ma non ho proprio capito che cos'hai fatto per la seconda successione...
$\cos(x-1/n) = \cos x \cos(1/n) + \sin x \sin(1/n)$, poi metti insieme i vari termini.
Ti ringrazio tantissimo!
E pensare che ho fatto praticamente la stessa cosa per verificare la convergenza puntuale
Non ci avevo proprio pensato!
E pensare che ho fatto praticamente la stessa cosa per verificare la convergenza puntuale
Non ci avevo proprio pensato!
Riguardo alla prima successione, in realtà basta osservare che, per ogni $x\ne 0$,
[tex]\frac{\arctan\frac{1}{nx^2}}{\frac{1}{n x^2}} \to 1[/tex].
Poiché, per ogni $a>0$, [tex]\sup_{|x| \geq a} \frac{1}{n x^2} = \frac{1}{n a^2}\to 0,[/tex], avremo anche che
[tex]\sup_{|x| \geq a} [1 - \frac{\arctan\frac{1}{nx^2}}{\frac{1}{n x^2}}] =: \epsilon_n \to 0[/tex],
e questo basta per avere la convergenza uniforme in $(-\infty, -a] \cup [a, +\infty)$.
[tex]\frac{\arctan\frac{1}{nx^2}}{\frac{1}{n x^2}} \to 1[/tex].
Poiché, per ogni $a>0$, [tex]\sup_{|x| \geq a} \frac{1}{n x^2} = \frac{1}{n a^2}\to 0,[/tex], avremo anche che
[tex]\sup_{|x| \geq a} [1 - \frac{\arctan\frac{1}{nx^2}}{\frac{1}{n x^2}}] =: \epsilon_n \to 0[/tex],
e questo basta per avere la convergenza uniforme in $(-\infty, -a] \cup [a, +\infty)$.
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