Successione di funzioni
Cari ragazzi,
Vi scrivo perché ho un problema con il calcolo del limite della seguente successione di funzioni:
\(\displaystyle \begin{equation*}
f_n(x)=4nx^3e^{-nx^4}.
\end{equation*}
\)
Se si fa tendere \(\displaystyle n \) a \(\displaystyle +\infty \) la funzione limite assume valore nullo su tutto l'insieme dei numeri reali. Però se si plotta il grafico si nota che al crescere di \(\displaystyle n \) la funzione assume valore nullo tranne che immediatamente prima e dopo l'origine dove assume valore infinito (qui ci sono due gobbe che si alzano sempre più al crescere di \(\displaystyle n \)). Ho il dubbio quindi che la funzione limite non sia continua. Voi cosa mi dite?
Vi ringrazio!
Vi scrivo perché ho un problema con il calcolo del limite della seguente successione di funzioni:
\(\displaystyle \begin{equation*}
f_n(x)=4nx^3e^{-nx^4}.
\end{equation*}
\)
Se si fa tendere \(\displaystyle n \) a \(\displaystyle +\infty \) la funzione limite assume valore nullo su tutto l'insieme dei numeri reali. Però se si plotta il grafico si nota che al crescere di \(\displaystyle n \) la funzione assume valore nullo tranne che immediatamente prima e dopo l'origine dove assume valore infinito (qui ci sono due gobbe che si alzano sempre più al crescere di \(\displaystyle n \)). Ho il dubbio quindi che la funzione limite non sia continua. Voi cosa mi dite?
Vi ringrazio!
Risposte
La tua funzione ha l'interessante proprietà di essere la derivata di $-1/(e^{nx^4})$.
Quest'ultima funzione, per $ n \to +oo$, si riduce alla funzione identicamente nulla tranne nell'origine, dove vale -1.
$f(x)={(0, se\ x !=0),(-1, se\ x=0):}$
Quindi se dovessimo derivare $f(x)$, avremmo una funzione sempre nulla, e nell'origine non è definita, perchè $f(x)$ non è continua, quindi non derivabile.
Quest'ultima funzione, per $ n \to +oo$, si riduce alla funzione identicamente nulla tranne nell'origine, dove vale -1.
$f(x)={(0, se\ x !=0),(-1, se\ x=0):}$
Quindi se dovessimo derivare $f(x)$, avremmo una funzione sempre nulla, e nell'origine non è definita, perchè $f(x)$ non è continua, quindi non derivabile.
Non sono un matematico e non ho tutti i requisiti per fare riflessioni accurate. Il mio ragionamente allora è sbagliato? Quello che devo fare io è studiare la convergenza uniforme della successione delle derivate della successione \(\displaystyle f_n(x)=e^{-nx^4} \) per vedere in quali intervalli è consentita l'operazione di derivazione termine a termine.
Consigli?
Consigli?
$(f')_n (x) = - 16 n^2 x^6 e^(- n x^4) + 12 n x^2 e^(- n x^4) = 0$
$Rightarrow x = root(4)(3/(4 n) )$
$f_n( root(4)(3/(4 n) ) ) = 4n (3/(4n))^(3/4) e^(-3/4) = (3/4)^(3/4) * e^(-3/4) * (4 n)^(1/4) -> +oo$ per $n -> +oo$.
$Rightarrow x = root(4)(3/(4 n) )$
$f_n( root(4)(3/(4 n) ) ) = 4n (3/(4n))^(3/4) e^(-3/4) = (3/4)^(3/4) * e^(-3/4) * (4 n)^(1/4) -> +oo$ per $n -> +oo$.
Fino a qui ci sono! Quello che mi viene da dire è che la successione delle derivate non può convergere uniformemente su \(\displaystyle [0,+\infty) \), ma converge uniformemente su \(\displaystyle [a,+\infty) \) dove \(\displaystyle a \) sta per un punto maggiore del punto di massimo. Vale per simmetria lo stesso a sinistra essendo la funzione dispari. Sbaglio?
Ma faccio fatica a definire la funzione limite della successione delle derivate! E' qui il problema.
Quinzio ragiona direttamente sulla derivata della funzione limite \(\displaystyle f(x) \) , ma io devo proprio arrivare a dire su quali intervalli il limite della derivata è uguale alla derivata del limite.
Ma faccio fatica a definire la funzione limite della successione delle derivate! E' qui il problema.
Quinzio ragiona direttamente sulla derivata della funzione limite \(\displaystyle f(x) \) , ma io devo proprio arrivare a dire su quali intervalli il limite della derivata è uguale alla derivata del limite.
"Blue_87":
Fino a qui ci sono! Quello che mi viene da dire è che la successione delle derivate non può convergere uniformemente su \(\displaystyle [0,+\infty) \), ma converge uniformemente su \(\displaystyle [a,+\infty) \) dove \(\displaystyle a \) sta per un punto maggiore del punto di massimo. Vale per simmetria lo stesso a sinistra essendo la funzione dispari. Sbaglio?
Ma faccio fatica a definire la funzione limite della successione delle derivate! E' qui il problema.
Quinzio ragiona direttamente sulla derivata della funzione limite \(\displaystyle f(x) \) , ma io devo proprio arrivare a dire su quali intervalli il limite della derivata è uguale alla derivata del limite.
Ho considerato $f_n : [0, +oo) -> RR$. Se non ho sbagliato i calcoli, quello che ho fatto prova che non puoi avere la convergenza in norma infinito (in un intorno dell'origine), cioè $|| f_n - f ||_(oo) -> 0$, dove $f$ è la funzione identicamente nulla.
Infatti derivando $f_n (x)$ e ponendo la derivata prima uguale a $0$ si trova $x_n = root(4)(3/(4 n) )$ come punto estremante. Fissato $k$, certamente da un certo $bar n$ in poi $x_n in [0, k]$ e quindi:
$"max"_(x in [0, k]) |f_n (x) - 0 | = f_n ( root(4)(3/(4 n)) ) = [(3/4)^(3/4) * e^(-3/4)] * (4 n)^(1/4)$
Per $n -> +oo$ questo massimo ha limite $+oo$ e ciò implica che la succ. di funzioni non può essere uniformemente convergente in $[0, k]$.
Penso vada bene... Aspetto qualche conferma.
OK. Ma cosa mi dici invece della funzione limite della successione
\(\displaystyle4nx^3e^{-nx^4} \)?
La funzione limite è la funzione nulla? A me viene da dire che in corrispondenza dei punti di minimo e massimo la successione diverge al divergere di \(\displaystyle n \). O meglio la funzione limite è la funzione nulla, tranne nei punti immediatamente a destra e a sinistra dell'origine. I punti di minimo/massimo tendono a 0 quando \(\displaystyle n \) diverge e i massimi e i minimi divergono al divergere di \(\displaystyle n \). Si ha quindi che subito dopo e subito prima dello zero la successione diverge. Nello zero però converge a zero così come negli altri punti.
Non capisco. Bho!
\(\displaystyle4nx^3e^{-nx^4} \)?
La funzione limite è la funzione nulla? A me viene da dire che in corrispondenza dei punti di minimo e massimo la successione diverge al divergere di \(\displaystyle n \). O meglio la funzione limite è la funzione nulla, tranne nei punti immediatamente a destra e a sinistra dell'origine. I punti di minimo/massimo tendono a 0 quando \(\displaystyle n \) diverge e i massimi e i minimi divergono al divergere di \(\displaystyle n \). Si ha quindi che subito dopo e subito prima dello zero la successione diverge. Nello zero però converge a zero così come negli altri punti.
Non capisco. Bho!
Ho capito il tuo dubbio. Dici: se faccio tendere $n$ a $+ oo$ e trovo che $f -> 0$ puntualmente $AA x in RR$, come mai in $0$ dà questi problemi?
Hai che, $AA n in NN$, $f_n (0) = 0$. Epperò hai che la successione $f_n (x_n)$ dei massimi ($x_n$ è quella definita nel post che ho precedentemente postato) tende all'infinito ed $x_n -> 0$. Prova ad immaginare cosa succede man mano che $n$ si fa sempre più grande.
Quindi $f_n -> 0$ ma non uniformemente rispetto a $x$.
Hai che, $AA n in NN$, $f_n (0) = 0$. Epperò hai che la successione $f_n (x_n)$ dei massimi ($x_n$ è quella definita nel post che ho precedentemente postato) tende all'infinito ed $x_n -> 0$. Prova ad immaginare cosa succede man mano che $n$ si fa sempre più grande.
Quindi $f_n -> 0$ ma non uniformemente rispetto a $x$.
Quindi concordi con quanto detto? Posso dire che la funzione limite della successione delle derivate è discontinua? In che punti però lo è?
Probabilmente sono domande banali, ma ho poca dimestichezza con la matematica.
Probabilmente sono domande banali, ma ho poca dimestichezza con la matematica.
"Blue_87":
Quindi concordi con quanto detto? Posso dire che la funzione limite della successione delle derivate è discontinua? In che punti però lo è?
No, io non ho fatto considerazioni sulla continuità della successione delle derivate.
Ho cercato semplicemente i punti di massimo di $f_n (x)$.
E se dovessi fare delle considerazioni sulla continuità?
Considera la successione:
\(\displaystyle f_n(x)=4nx^3e^{-nx^4} \)
trova la funzione limite. Quest'ultima è continua o discontinua secondo te?
Considera la successione:
\(\displaystyle f_n(x)=4nx^3e^{-nx^4} \)
trova la funzione limite. Quest'ultima è continua o discontinua secondo te?
"Blue_87":
E se dovessi fare delle considerazioni sulla continuità?
Considera la successione:
$f_n(x)=4nx^3e^{-nx^4}$
trova la funzione limite. Quest'ultima è continua o discontinua secondo te?
Io direi che questa successione ha un comportamento insolito per $n\to \infty$, in quanto
1) nei punti di max e min va come $n^{1/4}$, quindi la funzione va a $\pm \infty$
2) i punti di max e min sono con $n$ al denominatore e un numero al numeratore, quindi i punti di max e min "migrano" verso 0 mentre i valori di max/min vanno a $\infty$
3) la funzione $f_n$ è definita in 0 e fa 0 per ogni $n\geq 1$.
A mio modesto avviso, la funzione limite assume il seguente, patologico, comportamento: fa 0 ovunque tranne nei punti "immediatamente prima" e "immediatamente dopo" 0, in cui vale $\infty$. Il problema è che "immediatamente prima/dopo" non ha alcun senso!!!
Cosa ne pensate quindi in merito alla continuità/discontinuità di questa funzione limite?
Ma non capisco cosa state dicendo. La funzione limite (in senso puntuale) è la funzione identicamente nulla. Quindi, come ogni funzione costante, essa è continua. Questo conclude l'argomento.
Se si vogliono fare altre considerazioni, liberissimi, ma devono partire da presupposti solidi e andare da qualche parte, altrimenti si resta a chiacchierare a vuoto in eterno.
Se si vogliono fare altre considerazioni, liberissimi, ma devono partire da presupposti solidi e andare da qualche parte, altrimenti si resta a chiacchierare a vuoto in eterno.
Quindi, Dissonance, correggimi se sbaglio... Questa è una successione di funzioni che converge puntualmente alla funzione nulla, che, pur non essendoci convergenza uniforme, è una funzione continua?
Quindi non valgono i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e sotto il segno di integrale.
Quindi non valgono i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e sotto il segno di integrale.
"Seneca":Esatto. E' un fenomeno che può capitare. Per un altro esempio definisci una funzione \(f\) con questo grafico:
Quindi, Dissonance, correggimi se sbaglio... Questa è una successione di funzioni che converge puntualmente alla funzione nulla, che, pur non essendoci convergenza uniforme, è una funzione continua?
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=0; ymax=1.5; axes(); line([-5, 0], [-1, 0]); line([-1, 0], [0, 1]); line([0, 1], [1, 0]); line([1, 0], [5, 0]);[/asvg]poi poni \(f_n(x)=f(x-n)\) ed ecco una successione di funzioni tale che \(f_n(x) \to 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\) ma la convergenza non è uniforme.
Quindi non valgono i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e sotto il segno di integrale.Più che "non valgono" io direi che non si possono applicare. Poi possono valere come non valere.
Ragazzi vi ringrazio! Ho capito il vostro discorso. Ma cosa mi dite riguardo al fatto che se si guarda il grafico al crescere di n le gobbe non si appiattiscono, ma crescono sempre più e divergono? Ignoro queto fatto?
Certo, se faccio il limite la funzione limite risilta zero e quindi per definizione continua..
Certo, se faccio il limite la funzione limite risilta zero e quindi per definizione continua..
e se la successione di funzioni fosse invece exp(-nx^4), una volta stabilito gli intervalli (-inf,-a]U[a,+inf) di convergenza uniforme, come faccio a precisare quali sono gli intervalli in cui tale successione è integrabile termine a termine e quali in cui è derivabile?
Questo punto mi sfugge proprio
Questo punto mi sfugge proprio
@piaclara: C'è già un topic su quell'esercizio, la discussione continua là. Non interrompere le discussioni degli altri altrimenti non si capisce più niente.
@Blue_87: Quel fenomeno fa si che la convergenza sia solo puntuale e non uniforme in nessun intorno di \(0\). E vabbè, amen. Non è che per forza la funzione limite debba essere discontinua, se la convergenza non è uniforme.
@Blue_87: Quel fenomeno fa si che la convergenza sia solo puntuale e non uniforme in nessun intorno di \(0\). E vabbè, amen. Non è che per forza la funzione limite debba essere discontinua, se la convergenza non è uniforme.
chiedere è ecito, rispondere è cortesia, evidentemente in qst forum di cortesia ve n'è poca
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