Successione di funzioni
Ciao a tutti.
Ho qualche difficoltà nello studio della convergenza puntuale ed uniforme delle successioni di funzioni di questo tipo (di seguito un esempio):
$ fn(x)={ ( sqrt(1-(x-n)^2), se: |x-n|<=1 ),( 0, atrimenti ):} $
Non riesco ad approcciare questo genere di problema, non saprei proprio da dove partire. Le altre tipologie di successioni riesco a studiarle con tranquillità.
Qualcuno riuscirebbe per cortesia a darmi una mano, anche semplicemente indicandomi del materiale da consultare.
Grazie mille per la disponibilità di tutti!!!
Ho qualche difficoltà nello studio della convergenza puntuale ed uniforme delle successioni di funzioni di questo tipo (di seguito un esempio):
$ fn(x)={ ( sqrt(1-(x-n)^2), se: |x-n|<=1 ),( 0, atrimenti ):} $
Non riesco ad approcciare questo genere di problema, non saprei proprio da dove partire. Le altre tipologie di successioni riesco a studiarle con tranquillità.
Qualcuno riuscirebbe per cortesia a darmi una mano, anche semplicemente indicandomi del materiale da consultare.
Grazie mille per la disponibilità di tutti!!!
Risposte
Il modo migliore per svolgere questi esercizi è cercare di visualizzare la successione di funzioni, cioè cercare disegnare $f_1, f_2, ...$.
Nel caso di questo esercizio la convergenza puntuale risulta comunque semplice, per $n->+oo$ si ha che $|x-n|$ non sarà mai $<=1$, quindi?
Per quella uniforme invece ti aiuta molto il disegno, provaci e fammi sapere.
Nel caso di questo esercizio la convergenza puntuale risulta comunque semplice, per $n->+oo$ si ha che $|x-n|$ non sarà mai $<=1$, quindi?
Per quella uniforme invece ti aiuta molto il disegno, provaci e fammi sapere.
Grazie per la risposta, Giuly.
Correggimi se sbaglio. Se $ |x-n| $ non può essere mai minore o uguale a $ 1 $, allora non considero questo tratto della successione per lo studio della convergenza puntuale. Quindi la successione converge puntualmente a $ 0 $ per ogni $ x $.
Per lo studio della convergenza uniforme, ho provato a rappresentare graficamente la successione in $ 1, 2, 3... $.
Trovo che i grafici mi rappresentano dei semicerchi positivi, che si spostano a destra al crescere di $ n $. Cosa posso concludere con questo, Giuly?
Correggimi se sbaglio. Se $ |x-n| $ non può essere mai minore o uguale a $ 1 $, allora non considero questo tratto della successione per lo studio della convergenza puntuale. Quindi la successione converge puntualmente a $ 0 $ per ogni $ x $.
Per lo studio della convergenza uniforme, ho provato a rappresentare graficamente la successione in $ 1, 2, 3... $.
Trovo che i grafici mi rappresentano dei semicerchi positivi, che si spostano a destra al crescere di $ n $. Cosa posso concludere con questo, Giuly?
Beh prova ad applicare la definizione di convergenza uniforme, alla luce di quello che hai osservato (che è esattamente quello che intendevo) non dovrebbe risultarti difficile.
Correggimi ancora se sbaglio:
in funzione di quanto ho considerato prima, se vado a tracciare una retta definita dall'equazione: $ y=0+ε $ con $ 0<ε<1 $, vedo che questa retta interseca sempre la successione nel primo quadrante, mentre non la interseca mai nel quarto quadrante. Quindi posso dedurre che la successione sia uniformemente convergente per $ (-\infty ,a) $, con $ a>0 $?
Devo ragionare sempre in questo modo, per le risoluzioni grafiche? Ovvero:
1) rappresentazione grafica della successione;
2) traccio retta $ y=0+ε $ con $ 0<ε<1 $;
3) vedo dove la retta interseca il grafico della successione;
4) traggo conclusioni su intervallo di convergenza.
in funzione di quanto ho considerato prima, se vado a tracciare una retta definita dall'equazione: $ y=0+ε $ con $ 0<ε<1 $, vedo che questa retta interseca sempre la successione nel primo quadrante, mentre non la interseca mai nel quarto quadrante. Quindi posso dedurre che la successione sia uniformemente convergente per $ (-\infty ,a) $, con $ a>0 $?
Devo ragionare sempre in questo modo, per le risoluzioni grafiche? Ovvero:
1) rappresentazione grafica della successione;
2) traccio retta $ y=0+ε $ con $ 0<ε<1 $;
3) vedo dove la retta interseca il grafico della successione;
4) traggo conclusioni su intervallo di convergenza.
In realtà puoi benissimo considerare $(-oo,a]$ per la convergenza uniforme, non c'è bisogno di escludere $a$.
Non ho capito bene la questione di primo e quarto quadrante, quello che hai scritto a riguardo è vero, ma forse al posto di quarto intendevi secondo.
Comunque il tuo ragionamento fila in questa caso, ma la funzione non è sempre $f(x) = 0$ per ogni $x$, in altra casi il discorso si complica, solo leggermente. In generale queste funzioni (bump function) hanno una sporgenza, che nel caso di una successione si sposta; individuare se a destra o a sinistra è facile. Magari più difficile è capire se questo bump si schiaccia mandandano $n$ a $+oo$, si allarga, si alza, rimane uguale ecc. (questo per dire che altre successioni di funzioni di questo tipo possono tranquillamente convergere uniformemente su tutto $RR$). Per farlo il modo più facile è applicare direttamente la definizione, il riscontro grafico ti serve semplicemente per capire che si tratta di questo tipo di funzioni.
Anche se penso che il discorso che fai sulla striscia che ha come mediana la funzione limite, possa funzionare sempre.
Se vuoi ho un esercizio molto carino su questo tipo di successioni, magari potrebbe aiutarti a chiarirti le idee.
Non ho capito bene la questione di primo e quarto quadrante, quello che hai scritto a riguardo è vero, ma forse al posto di quarto intendevi secondo.
Comunque il tuo ragionamento fila in questa caso, ma la funzione non è sempre $f(x) = 0$ per ogni $x$, in altra casi il discorso si complica, solo leggermente. In generale queste funzioni (bump function) hanno una sporgenza, che nel caso di una successione si sposta; individuare se a destra o a sinistra è facile. Magari più difficile è capire se questo bump si schiaccia mandandano $n$ a $+oo$, si allarga, si alza, rimane uguale ecc. (questo per dire che altre successioni di funzioni di questo tipo possono tranquillamente convergere uniformemente su tutto $RR$). Per farlo il modo più facile è applicare direttamente la definizione, il riscontro grafico ti serve semplicemente per capire che si tratta di questo tipo di funzioni.
Anche se penso che il discorso che fai sulla striscia che ha come mediana la funzione limite, possa funzionare sempre.
Se vuoi ho un esercizio molto carino su questo tipo di successioni, magari potrebbe aiutarti a chiarirti le idee.
Pardon, hai ragione, secondo quadrante!!
Passami pure l'esercizio, uno in più non fa mai male
, grazie mille.
Posso approfittarne per chiederTi pure un'altra cosa?
Ho provato appena ora a fare un'esercizio simile a quello che avevo postato in precedenza, nello specifico:
$ { ( 0, se: x<=1+2/(n^3) oppure: x>=1+4/(n^3) ),( n^4x-n^4-2n, se: 1+2/n^3
Il ragionamento che ho effettuato è il seguente:
1) convergenza puntuale:
per $ n$ tendente ad infinito non hanno senso la seconda e la terza equazione del sistema, quindi prendo in considerazione solo la prima equazione e la successione tende puntualmente ad $ 0 $ per ogni $ x $
2) convergenza uniforme:
come prima traccio il grafico della successione in $ 1, 2, 3... $ e vedo come risultato diversi triangoli positivi, che si schiacciano e si alzano verso il valore $ x=1 $.
Quindi posso affermare la convergenza uniforme in tutto $ (-\infty, +1) $ ed in $[a, \infty)$ , con $a>5$.
Mi viene chiesto a questo punto di verficare la validità del teorema del passaggio del limite sotto integrale nell'intervallo $[1,5]$.
Come prima cosa verifico che ci sia convergena uniforme nell'intervallo indicato (non c'è).
Allora passo a verificare calcolando l'integrale.
Se non ho commesso errori, l'integrale mi risulta l'area del triangolo = $1/n^2$, che tende a zero per $n$ tendente ad infinito. Inoltre considerando il limite puntuale della funzione, che è zero, il suo integrale sarà ancora zero trovo che la relazione è valida, cosa che il risultato dell'esercizio non mi conferma.
Passami pure l'esercizio, uno in più non fa mai male
, grazie mille.Posso approfittarne per chiederTi pure un'altra cosa?
Ho provato appena ora a fare un'esercizio simile a quello che avevo postato in precedenza, nello specifico:
$ { ( 0, se: x<=1+2/(n^3) oppure: x>=1+4/(n^3) ),( n^4x-n^4-2n, se: 1+2/n^3
Il ragionamento che ho effettuato è il seguente:
1) convergenza puntuale:
per $ n$ tendente ad infinito non hanno senso la seconda e la terza equazione del sistema, quindi prendo in considerazione solo la prima equazione e la successione tende puntualmente ad $ 0 $ per ogni $ x $
2) convergenza uniforme:
come prima traccio il grafico della successione in $ 1, 2, 3... $ e vedo come risultato diversi triangoli positivi, che si schiacciano e si alzano verso il valore $ x=1 $.
Quindi posso affermare la convergenza uniforme in tutto $ (-\infty, +1) $ ed in $[a, \infty)$ , con $a>5$.
Mi viene chiesto a questo punto di verficare la validità del teorema del passaggio del limite sotto integrale nell'intervallo $[1,5]$.
Come prima cosa verifico che ci sia convergena uniforme nell'intervallo indicato (non c'è).
Allora passo a verificare calcolando l'integrale.
Se non ho commesso errori, l'integrale mi risulta l'area del triangolo = $1/n^2$, che tende a zero per $n$ tendente ad infinito. Inoltre considerando il limite puntuale della funzione, che è zero, il suo integrale sarà ancora zero trovo che la relazione è valida, cosa che il risultato dell'esercizio non mi conferma.
La convergenza puntuale mi sembra ok.
Per la convergenza uniforme non dovrebbero esserci problemi in qualsiasi intorno sinistro di $1$, quindi in $(-oo,1]$ mi pare uniforme senza troppi problemi. Bisogna però scartare un'intorno sinistro di $1$, quindi considerare intervalli del tipo $[a,+oo)$, dove $a>1$ (perchè mai dovrebbe essere $a>5$??).
Per quanto riguarda l'integrale, a meno del fatto che dovrebbe valere $int_(1)^(5) f_n(x) dx = base*h/2 = (1+4/n^3-1-2/n^3)*(f_n (1+3/n^3))/2 = 3/n^3 $, ma l'andamento asintotico è lo stesso quindi la conclusione è appunto che vale il passaggio il limite sotto il segno di integrale (nonostante la convergenza non sia uniforme su $[1,5]$).
L'esercizio che volevo proporti è il numero 7 di questa scheda: http://users.mat.unimi.it/users/maderna ... ntivi2.pdf
Per la convergenza uniforme non dovrebbero esserci problemi in qualsiasi intorno sinistro di $1$, quindi in $(-oo,1]$ mi pare uniforme senza troppi problemi. Bisogna però scartare un'intorno sinistro di $1$, quindi considerare intervalli del tipo $[a,+oo)$, dove $a>1$ (perchè mai dovrebbe essere $a>5$??).
Per quanto riguarda l'integrale, a meno del fatto che dovrebbe valere $int_(1)^(5) f_n(x) dx = base*h/2 = (1+4/n^3-1-2/n^3)*(f_n (1+3/n^3))/2 = 3/n^3 $, ma l'andamento asintotico è lo stesso quindi la conclusione è appunto che vale il passaggio il limite sotto il segno di integrale (nonostante la convergenza non sia uniforme su $[1,5]$).
L'esercizio che volevo proporti è il numero 7 di questa scheda: http://users.mat.unimi.it/users/maderna ... ntivi2.pdf
Ok, giuste annotazioni!!
Per quanto riguarda l'esercizio che mi hai proposto (non ne ho mai trovati nelle dispense del mio corso ma ho provato ad effettuarlo ugualmente, spero di avere interpretato nella maniera corretta il discorso della funzione caratteristica.
Ho ragionato nel seguente modo:
la successione si comporterà così:
$ { ( x^(1/2)+n^a(x-n)(n+1-x), per n<=x<=(n+1) ),( x^(1/2), atrimenti):} $
Quindi, per la convergenza puntuale non considero il primo tratto e la successione convergerà puntualmente a $x^(1/2)$ per ogni $x$.
Per quanto riguarda lo studio della convergenza uniforme, disegno i grafici in $1, 2, 3, ....$ e trovo che in $[0, +\infty)$, in tutti i grafici avrò il tratto che va da $x=0$ a $x=1$ crescerà da $0$ a $1$, indipendentemente dal valore di $a$.
Quindi la successione converge uniformemente solo in $[0,b]$, con $0
Ho ragionato nella maniera corretta, Giuly??
Per quanto riguarda l'esercizio che mi hai proposto (non ne ho mai trovati nelle dispense del mio corso ma ho provato ad effettuarlo ugualmente, spero di avere interpretato nella maniera corretta il discorso della funzione caratteristica.
Ho ragionato nel seguente modo:
la successione si comporterà così:
$ { ( x^(1/2)+n^a(x-n)(n+1-x), per n<=x<=(n+1) ),( x^(1/2), atrimenti):} $
Quindi, per la convergenza puntuale non considero il primo tratto e la successione convergerà puntualmente a $x^(1/2)$ per ogni $x$.
Per quanto riguarda lo studio della convergenza uniforme, disegno i grafici in $1, 2, 3, ....$ e trovo che in $[0, +\infty)$, in tutti i grafici avrò il tratto che va da $x=0$ a $x=1$ crescerà da $0$ a $1$, indipendentemente dal valore di $a$.
Quindi la successione converge uniformemente solo in $[0,b]$, con $0
Ho ragionato nella maniera corretta, Giuly??
Non l'ho proprio capito il tuo ragionamento! Il primo tratto di ogni $f_n$ per $n$ abbastanza grande, è semplicemente la funzione $sqrt(x)$. Perchè non provi ad applicare la definizione di convergenza uniforme questa volta?
Ho ragionato come avevo fatto per l'esercizio precedente, disegnando i grafici della successione in $1, 2, 3...$ ed andando ad intersecarli con la retta $y=0+ε$, vedo che questa retta non si interseca solo nel tratto che va da zero a uno.
Andando invece ad applicare la definizione di convergenza uniforme, non riesco a capire come posso applicarla in successioni di questo tipo, ovvero non riesco a capire, oltre al limite puntuale, quale delle due parti della successione devo andare ad inserire nella definizione, e perchè.
Per quanto riguarda il calcolo della convergenza puntuale l'ho effettuato ragionando correttamente?
Andando invece ad applicare la definizione di convergenza uniforme, non riesco a capire come posso applicarla in successioni di questo tipo, ovvero non riesco a capire, oltre al limite puntuale, quale delle due parti della successione devo andare ad inserire nella definizione, e perchè.
Per quanto riguarda il calcolo della convergenza puntuale l'ho effettuato ragionando correttamente?
La convergenza puntuale è a posto, del resto il bump (di cui ti parlavo prima) si sposta verso sinistra quando mandi $n$ a $+oo$.
La definizione di convergenza uniforme ti chiede di valutare il $Sup_(x in [0,+oo)) |f_n(x)-f(x)|$, dove $f$ è la funzione limite puntuale. Perchè non provi a considerare questa quantitià?
La definizione di convergenza uniforme ti chiede di valutare il $Sup_(x in [0,+oo)) |f_n(x)-f(x)|$, dove $f$ è la funzione limite puntuale. Perchè non provi a considerare questa quantitià?
Ok, il mio problema, ovvero quello che proprio non riesco a capire di queste funzioni, è quale parte di successione $fn(x)$ devo inserire nella definizione di convergenza uniforme, visto la difformità di comportamento al variare dei valori assunti da $x$. Cioè se devo inserire la prima o la seconda equazione del sistema descrivente la successione. Perdonami Giuly se non riesco a spiegarmi bene, forse è una semplice stupidata che mi sta disorientando!!
Ho capito qual'è il tuo problema, però stai trascurando il fatto che di fianco hai scritto $Sup_(x in [0,+oo))$. Quindi devi andare a considerare il valore più grande della differenza tra la funzione limite, che non hai problemi ad individuare, e tutta la $f_n$, che è composta sia della parte con la protuberanza sia della parte senza. (E' scritto malissimo in effetti XD)
Questo per dire che la differenza tra $f_n$ e la funzione limite è proprio il bump.
Questo per dire che la differenza tra $f_n$ e la funzione limite è proprio il bump.
Ok, quindi ora ha un senso il fatto che lo studio della convergenza assoluta fosse richiesto in funzione di $a$.
Calcolo derivata prima e sostituisco in equazione, e trovo che la convergenza assoluta c'è per $a<0$, mi confermi, Giuly?
Calcolo derivata prima e sostituisco in equazione, e trovo che la convergenza assoluta c'è per $a<0$, mi confermi, Giuly?
Sì è giusto, solo chiamala convergenza uniforme!
Pardon, il caldo di questi giorni mi sta dando alla testa!!!
Ti ringrazio davvero di cuore per la Tua disponibilità, Giuly!!
Ti ringrazio davvero di cuore per la Tua disponibilità, Giuly!!
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