Successione di funzioni
Data la successione di funzioni $f_n(x))=(nx)/(1+(3nx)^2)$ determinare l'insieme di convergenza E, la funzione limite, e stabilire che in E la convergenza non è uniforme.
Dire poi se:
a)la successione converge uniformemente in $[-3,3]$
b)la successione converge uniformemente in $R-[1/3,-1/3]$
L'insieme di convergenza mi viene R, la funzione limite 0. Come faccio a capire se è esatta la a) o la b)?
Dire poi se:
a)la successione converge uniformemente in $[-3,3]$
b)la successione converge uniformemente in $R-[1/3,-1/3]$
L'insieme di convergenza mi viene R, la funzione limite 0. Come faccio a capire se è esatta la a) o la b)?
Risposte
Comincia dalla a). $f_n$ converge uniformemente a zero se e solo se $M_n="sup"_{x \in [-3, 3]}|f_n(x)| \to 0$ quando $n \to infty$. No? Questa è la definizione. Allora vediamo di calcolarla esplicitamente questa successione numerica $M_n$. Ragiona un po' su come fare. Gli strumenti sono quelli soliti dello "studio di funzione" per calcolare i massimi.
Io calcolo il massimo, che mi viene in $(-1/(3n))$ e quindi per $n to infty$ sono portato a dire che tende a 0... ma così facendo, sarei portato a dire che converge uniformemente in tutto R, invece è evidente che non sia così...
ATTENZIONE! Quello che hai calcolato è il punto in cui $f_n(x)$ assume il massimo. A te invece serve il valore massimo assunto da $f$. Esempio:
[asvg]axes(); plot("1/(1+x^2)");[/asvg]
Questo è il grafico della funzione
$1/(1+x^2), quad x \in RR$.
Il valore massimo che essa assume è $1$. Il punto in cui tale massimo è assunto è $0$.
[asvg]axes(); plot("1/(1+x^2)");[/asvg]
Questo è il grafico della funzione
$1/(1+x^2), quad x \in RR$.
Il valore massimo che essa assume è $1$. Il punto in cui tale massimo è assunto è $0$.
Cavolo, ci ho pensato proprio mentre aspettavo una tua risposta!E infatti è arrivata puntuale 
Quindi mi calcolo $f(-1/(3n))$ e mi viene $1/6$. Questo quindi è il valore massimo, giusto? Che essendo diverso da 0, mi dice che la successione non converge uniformemente in tutto R.
edit: ok, corretto!
Quindi mi calcolo $f(-1/(3n))$ e mi viene $1/6$. Questo quindi è il valore massimo, giusto? Che essendo diverso da 0, mi dice che la successione non converge uniformemente in tutto R.
edit: ok, corretto!
Esatto. E in $[-3, 3]$, converge uniformemente? E in $RR- [-1/3, 1/3]$? Pensaci un po'. Subito puoi rispondere di "no" ad una di queste due domande. Ti serve qualche altro conto per rispondere all'altra.
EDIT: Però stai attento. Tu devi calcolare il sup di $|f_n(x)|$, non di $f_n(x)$. Occhio a quel valore assoluto.
EDIT: Però stai attento. Tu devi calcolare il sup di $|f_n(x)|$, non di $f_n(x)$. Occhio a quel valore assoluto.
Se restringo la funzione a $[-3,3]$ a me sembra non cambi proprio niente...cioè che la convergenza resta non uniforme. Ma non riesco ad arrivarci con certezza!
Si ma attenzione al valore assoluto. $-1/6$ non può essere il massimo di $|f_n(x)|$. Aggiusta questo fatto e poi ne riparliamo.
Sì sì ma avevo già corretto 
Vabbè. Sei sicuro di quell'$1/6$? Attenzione che il sup del valore assoluto non è semplicemente il valore assoluto del sup.
Comunque, assumendo che effettivamente il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in RR$ sia $1/6$ e che sia assunto in $1/(3n)$ e in $-1/(3n)$, puoi dire subito che la successione non converge uniformemente in $[-3, 3]$. Infatti, quanto sarà il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in [-3, 3]$? Tieni conto che $1/(3n)$ e $-1/(3n)$ sono contenuti in $[-3, 3]$.
Comunque, assumendo che effettivamente il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in RR$ sia $1/6$ e che sia assunto in $1/(3n)$ e in $-1/(3n)$, puoi dire subito che la successione non converge uniformemente in $[-3, 3]$. Infatti, quanto sarà il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in [-3, 3]$? Tieni conto che $1/(3n)$ e $-1/(3n)$ sono contenuti in $[-3, 3]$.
Non riesco a capire se non è $1/6$ quanto può essere...
"DDL92":Io non lo so, non ho fatto i conti. Può essere che sia $1/6$. Prima volevo solo metterti in guardia dal seguente errore tipico:
Non riesco a capire se non è $1/6$ quanto può essere...
$"sup"_{x \in I} |f_n(x)|=|"sup"_{x \in I} f_n(x) |$
Quindi, ammettendo che sia proprio $1/6$, come arrivo a dire che converge uniformemente in $RR-[-1/3,1/3]$? Se escludo quell'intervallo, che credo contenga $1/(3n)$ e $-1/(3n)$, non riesco ad arrivare alla conclusione...
Escludi quell' intervallo. Adesso devi rifare tutto: quanto vale il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in RR-[-1/3, 1/3]$?
Nota: Quando si studiano queste cose è molto utile avere a disposizione un software per generare grafici animati. Qui c'è un piccolo codice che uso io con Maple 11:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#335061
e qui un codice scritto da un altro utente, umaga, per MATLAB:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#400120
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#335061
e qui un codice scritto da un altro utente, umaga, per MATLAB:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#400120
La funzione escludendo quell'intervallo mi viene sempre decrescente...
Senti, se stai aspettando che io ti imbocchi hai sbagliato persona. Devi arrivarci da solo, io ti posso pure scrivere la soluzione ma non servirebbe a nessuno dei due. Prova:
1) A disegnare alcuni grafici delle funzioni $f_n(x)$ per $n=1, 2, ...$ diciamo fino a 10, 20. Usando un software di calcolo lo puoi fare in automatico, come scrivevo nel post precedente;
2) A calcolare per benino il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in RR-[-1/3, 1/3]$ e l'eventuale punto in cui esso è assunto. Lo sai fare, devi solo riflettere un po'.
Dopo avere fatto queste due operazioni ti sarà perfettamente chiaro il comportamento della successione, e se non è chiaro ne possiamo riparlare.
1) A disegnare alcuni grafici delle funzioni $f_n(x)$ per $n=1, 2, ...$ diciamo fino a 10, 20. Usando un software di calcolo lo puoi fare in automatico, come scrivevo nel post precedente;
2) A calcolare per benino il sup di $|f_n(x)|$ per $x \in RR-[-1/3, 1/3]$ e l'eventuale punto in cui esso è assunto. Lo sai fare, devi solo riflettere un po'.
Dopo avere fatto queste due operazioni ti sarà perfettamente chiaro il comportamento della successione, e se non è chiaro ne possiamo riparlare.
Ho pensato che essendo sempre decrescente la funzione al di fuori di quell'intervallo, assume il valore massimo a meno infinito, quindi facendo $lim f_n(x) $ per $n to -infty$ viene proprio 0. Può andare?
Mentre per $[-3,3]$ era evidente che non convergesse uniformemente, come mi hai spiegato tu bene ieri.
Mentre per $[-3,3]$ era evidente che non convergesse uniformemente, come mi hai spiegato tu bene ieri.
"DDL92":No, non può essere. Il grafico l'hai guardato? Non credo altrimenti non avresti preso questo grossolano sfondone. Se il minimo di $|f_n(x)|$ (NON ti scordare il valore assoluto!) è $0$, significa che $f(x)$ è identicamente nulla, non ti pare?
Ho pensato che essendo sempre decrescente la funzione al di fuori di quell'intervallo, assume il valore massimo a meno infinito, quindi facendo $lim f_n(x) $ per $n to -infty$ viene proprio 0. Può andare?
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