Successione di Funzioni
$ fx=0$ se $x in [0,n] $
$(x-n)^2$ se $x in (n,oo)$
la soluzione mi dice che converge puntualmente a zero anche se non capisco come con il secondo intervallo!
$(x-n)^2$ se $x in (n,oo)$
la soluzione mi dice che converge puntualmente a zero anche se non capisco come con il secondo intervallo!
Risposte
se $x=infty$ cosa succede al limite?
@paolotesla: Ma no, cosa c'entra. Poi, non ha senso dire $x=infty$, è una cosa concettualmente sbagliatissima.
@genniguida: Disegna il grafico di qualche funzione, per esempio per $n=1, 2, 3$. Cerca di capire "dinamicamente" come variano questi grafici al variare di $n$. Dopodiché sarà chiaro cosa succede per $n\to \infty$.
@genniguida: Disegna il grafico di qualche funzione, per esempio per $n=1, 2, 3$. Cerca di capire "dinamicamente" come variano questi grafici al variare di $n$. Dopodiché sarà chiaro cosa succede per $n\to \infty$.
allora per $x=n$? ma $n$ non è compreso nel dominio della seconda!! può essere risolto solo graficamente?
allora stavo pensando. nel grafico fino ad un certo valore $n$ la nostra successione è nulla quindi tutti i valori stanno sull' asse $y$ giusto?
Dopodichè prendiamo un $n'$ che sia maggiore di $n$. Allora otteniamo che $(x-n')^2$ sara con $x in [n',oo)$ ok? Ovviamente se $n->oo$ anche $n'->oo$. Ora da quanto $n'$ in poi il grafico della suzione assume ovviamente la forma di una parabola, col centro che si sposta su x ogni volta di un intero 1. Ora da qui in poi mi sono bloccato!
Dopodichè prendiamo un $n'$ che sia maggiore di $n$. Allora otteniamo che $(x-n')^2$ sara con $x in [n',oo)$ ok? Ovviamente se $n->oo$ anche $n'->oo$. Ora da quanto $n'$ in poi il grafico della suzione assume ovviamente la forma di una parabola, col centro che si sposta su x ogni volta di un intero 1. Ora da qui in poi mi sono bloccato!
Guarda, è più semplice di quanto pensi 
.
Fissato un generico $x\in [0, +\infty)$, esisterà $n\in \mathbb{N}$, dipendente da $x$, tale che $x
Volevi dire sull'asse $x$ forse
.
.Fissato un generico $x\in [0, +\infty)$, esisterà $n\in \mathbb{N}$, dipendente da $x$, tale che $x
allora stavo pensando. nel grafico fino ad un certo valore n la nostra successione è nulla quindi tutti i valori stanno sull' asse $y$ giusto?[...]
Volevi dire sull'asse $x$ forse
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Allora non capisco il tuo ultimo ragioamneto: anzitutto si su asse x volevo intedere cioe fn vale 0 per ogni x in [0,n], poi mi perdo nel tuo ragionamento perche fino al valore n la nosta succesione vale 0 quindi in quell' intervallo a funzione converge puntualmentr a 0. No? Mi è poco chiaro sinceramente. Chiedo scusa per gli errori ma scrivo dal cell
Hai ragione forse non sono stato molto chiaro, spero di rimediare ora.
Fissiamo un punto $x\in [0, +\infty)$, ad esempio $x=\pi$ e vediamo come si comporta la successione numerica $f_n(\pi)$
Per $n=1$, $\pi\notin[0, 1]$ ma $\pi\in (1, infty)$ pertanto $f_1(\pi)=(\pi-1)^2$
Per $n=2$, $\pi\notin[0, 2]$ ma $\pi\in (2, infty)$ pertanto $f_2(\pi)=(\pi-2)^2$
Per $n=3$, $\pi\notin[0, 3]$ ma $\pi\in (3, infty)$ pertanto $f_3(\pi)=(\pi-3)^2$
Per $n=4$, $\pi\in [0, 4]$ di conseguenza $f_4(\pi) = 0$
Per $n>4$, $\pi\in [0, n]$ di conseguenza $f_n(\pi)= 0\quad\forall n>4$
Cerchiamo di generalizzare.
Sia $x\in[0, \infty)$, esisterà sicuramente un $m\in \mathbb{N}$, dipendente da $x$, tale che $x\in [0, m]$, e quindi $f_n(x)= 0, \quad \forall n>m$. Vediamo come è fatto questo $n$, per determinarlo esplicitamente avremo bisogno del concetto di parte intera e sfruttare il fatto che per ogni numero reale $x$, vale la catena di disuguaglianze: $\lfloor x\rfloor<= x< \lfloor x\rfloor +1$. Nessuno ci impedisce di prendere $m=\lfloor x\rfloor +1 $ di modo che $x\in [0, m]$, ciò implica che $f_n(x)=0, \quad\forall n>=m$ e dunque $\lim_{n\to \infty} f_n(x)=0$.
In pratica, abbiamo detto che per ogni numero reale $x$ positivo, esiste un numero naturale $m$ tale che $x\in [0, m]$.
Fissiamo un punto $x\in [0, +\infty)$, ad esempio $x=\pi$ e vediamo come si comporta la successione numerica $f_n(\pi)$
Per $n=1$, $\pi\notin[0, 1]$ ma $\pi\in (1, infty)$ pertanto $f_1(\pi)=(\pi-1)^2$
Per $n=2$, $\pi\notin[0, 2]$ ma $\pi\in (2, infty)$ pertanto $f_2(\pi)=(\pi-2)^2$
Per $n=3$, $\pi\notin[0, 3]$ ma $\pi\in (3, infty)$ pertanto $f_3(\pi)=(\pi-3)^2$
Per $n=4$, $\pi\in [0, 4]$ di conseguenza $f_4(\pi) = 0$
Per $n>4$, $\pi\in [0, n]$ di conseguenza $f_n(\pi)= 0\quad\forall n>4$
Cerchiamo di generalizzare.
Sia $x\in[0, \infty)$, esisterà sicuramente un $m\in \mathbb{N}$, dipendente da $x$, tale che $x\in [0, m]$, e quindi $f_n(x)= 0, \quad \forall n>m$. Vediamo come è fatto questo $n$, per determinarlo esplicitamente avremo bisogno del concetto di parte intera e sfruttare il fatto che per ogni numero reale $x$, vale la catena di disuguaglianze: $\lfloor x\rfloor<= x< \lfloor x\rfloor +1$. Nessuno ci impedisce di prendere $m=\lfloor x\rfloor +1 $ di modo che $x\in [0, m]$, ciò implica che $f_n(x)=0, \quad\forall n>=m$ e dunque $\lim_{n\to \infty} f_n(x)=0$.
In pratica, abbiamo detto che per ogni numero reale $x$ positivo, esiste un numero naturale $m$ tale che $x\in [0, m]$.
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