Successione di funzioni
Data la successione di funzioni:
[tex]f_n(x)= { {n^{3 \over 2}x} \over {3 + n^4 x^4}}, x \in [0,1][/tex]
Studiarne la convergenza e dire se
[tex]\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} f_n(x)\, dx = \int_{0}^{1} \lim_{n \to +\infty} f_n(x)\, dx[/tex]
Ho cercato di studiarne la monotonia, ma il calcolo della derivata risulta abbastanza difficoltoso.
Quello di cui sono certo è che le successioni sono a valori in [tex][0, +\infty][/tex]
Ma non riuscendo a dimostrare che sono crescenti non posso applicare il Teorema di Beppo Levi.
Spero che mi risponderete,
intanto vi porgo i miei saluti.
[tex]f_n(x)= { {n^{3 \over 2}x} \over {3 + n^4 x^4}}, x \in [0,1][/tex]
Studiarne la convergenza e dire se
[tex]\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} f_n(x)\, dx = \int_{0}^{1} \lim_{n \to +\infty} f_n(x)\, dx[/tex]
Ho cercato di studiarne la monotonia, ma il calcolo della derivata risulta abbastanza difficoltoso.
Quello di cui sono certo è che le successioni sono a valori in [tex][0, +\infty][/tex]
Ma non riuscendo a dimostrare che sono crescenti non posso applicare il Teorema di Beppo Levi.
Spero che mi risponderete,
intanto vi porgo i miei saluti.
Risposte
Non c'è solo il teorema di Beppo Levi: nota ad esempio che il dominio di integrazione è compatto e quindi puoi usare anche il "vecchio" teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale: se $f_n \to f $ uniformemente allora $int f_n \to int f$. Però devi controllare se la successione converge uniformemente.
"dissonance":
Non c'è solo il teorema di Beppo Levi: nota ad esempio che il dominio di integrazione è compatto e quindi puoi usare anche il "vecchio" teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale: se $f_n \to f $ uniformemente allora $int f_n \to int f$. Però devi controllare se la successione converge uniformemente.
Ma se il limite puntuale è $ 0 $ per $ n \to \infty $ e quindi mi si richiede di calcolare il limite del sup del modulo per vedere se tende a $ 0 $,
come faccio a stabilire un sup se non riesco a calcolare la derivata?
Io penso che sarebbe più ovvio cercare un maggiorante e utilizzare il teorema della convergenza dominata, ma purtroppo sto maggiorante proprio non mi viene.
Non è troppo terribile calcolare la derivata rispetto ad $x$. Comunque non serve a granché perché la convergenza non è uniforme. Non è neanche monotona (ho fatto fare alcuni grafici a Maple), quindi resterebbe solo il teorema di convergenza dominata.
[edit] Ci siamo accavallati.
[edit] Ci siamo accavallati.
"jOoK3r":Forse $f(x)=1/3 x^(-1/2)$ è un maggiorante. Prova un po'...
Io penso che sarebbe più ovvio cercare un maggiorante e utilizzare il teorema della convergenza dominata, ma purtroppo sto maggiorante proprio non mi viene.
"dissonance":Forse $f(x)=1/3 x^(-1/2)$ è un maggiorante. Prova un po'...[/quote]
[quote="jOoK3r"]Io penso che sarebbe più ovvio cercare un maggiorante e utilizzare il teorema della convergenza dominata, ma purtroppo sto maggiorante proprio non mi viene.
Effettivamente il calcolo della derivata è abbastanza semplice. Mi ostinavo a fare un piccolo errore di calcolo che mi complicava evidentemente l'equazione da risolvere.
La mia domanda è questa:
Cosa ti porta ad affermare che una certa funzione può essere maggiorata da un'altra?
Mi spiego meglio.
Esistono alcuni criteri di maggiorazione delle funzioni trigonometriche o dei logaritmi ma sinceramente mi sfugge come riusciate a sparare funzioni maggioranti così come fossero bruscolini
Cioè...a livello qualitativo (e non quindi analiticamente perchè se mi hai dato quella funzione sicuramente avrai verificato che maggiora la successione) cosa ti porta a "pensare" ad una certa funzione come ad un maggiorante di una successione?
Per dirne una, a me anche [tex]1 \over x[/tex] risulta maggiorare la successione per ogni valore di $ n $
e [tex]1 \over x[/tex] è comunque sommabile in $ [0,1] $
Non andrebbe comunque bene?
e [tex]1 \over x[/tex] è comunque sommabile in $ [0,1] $
Non andrebbe comunque bene?
La funzione $y=1/x $ non è sommabile in $(0,1)$ .
@ joker: Purtroppo non ho fatto niente di ciò a cui stai pensando 
. Una volta stabilito che ogni $f_n$ raggiunge il massimo per $x=1/n$, si capisce che si tratta di una successione con una vetta via via più alta e via via più vicina a $0$, un andamento che ricorda le funzioni $1/(x^alpha)$. Siccome $f_n(1/n)=1/3n^(-1/2)$ mi è venuto in mente che la funzione $1/3x^(-1/2)$ potrebbe essere un maggiorante. Allora ho fatto fare un grafico a Maple ed ecco il risultato:
Ma non ho ancora dimostrato che la maggiorazione sussiste effettivamente.
. Una volta stabilito che ogni $f_n$ raggiunge il massimo per $x=1/n$, si capisce che si tratta di una successione con una vetta via via più alta e via via più vicina a $0$, un andamento che ricorda le funzioni $1/(x^alpha)$. Siccome $f_n(1/n)=1/3n^(-1/2)$ mi è venuto in mente che la funzione $1/3x^(-1/2)$ potrebbe essere un maggiorante. Allora ho fatto fare un grafico a Maple ed ecco il risultato:
Ma non ho ancora dimostrato che la maggiorazione sussiste effettivamente.
"dissonance":
@ joker: Purtroppo non ho fatto niente di ciò a cui stai pensando
Ma non ho ancora dimostrato che la maggiorazione sussiste effettivamente.
Capisco. Ma scusami un attimo...forse sto rincoglionendo io, il che è abbastanza probabile.
Ma se il punto di max è [tex]1 \over n[/tex],
a me risulta che [tex]f_n \left( 1 \over n \right) = {{\sqrt n} \over 4}[/tex] e non [tex]{1 \over 3}n^{-{1 \over 2}}[/tex]
Sbaglio qualcosa?
Si si hai ragione, il massimo è per $1/4 sqrt(n)$, non $1/3 n^(-1/2)$.
A questo punto io maggiorerei con un bel [tex]1 \over {\sqrt x}[/tex] e buonanotte!!! 
Un modo per dimostrare che, per ogni $n$, $f_n(x) \le \frac{3}{8\sqrt{x}}$, $x\in (0,1]$, è questo.
Usiamo la disuguaglianza di Young
$ab \le \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q$
con $a = 1$, $b = (nx)^{3/2}$, $p=8/5$, $q=8/3$, ottenendo
$\frac{8}{3} (nx)^{3/2} \le \frac{5}{3}+(nx)^4 \le 3 + (nx)^4$.
Da qui si ricava
$f_n(x) = \frac{3}{8\sqrt{x}} \frac{\frac{8}{3} (nx)^{3/2}}{3+(nx)^4} \le \frac{3}{8\sqrt{x}}$.
In alternativa, se si è interessati al solo passaggio al limite, basta calcolarsi esplicitamente gli integrali (salvo errori si ha
$\int_0^1 f_n = \frac{1}{2\sqrt{3n}} \arctan \frac{n^2}{3}$).
Usiamo la disuguaglianza di Young
$ab \le \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q$
con $a = 1$, $b = (nx)^{3/2}$, $p=8/5$, $q=8/3$, ottenendo
$\frac{8}{3} (nx)^{3/2} \le \frac{5}{3}+(nx)^4 \le 3 + (nx)^4$.
Da qui si ricava
$f_n(x) = \frac{3}{8\sqrt{x}} \frac{\frac{8}{3} (nx)^{3/2}}{3+(nx)^4} \le \frac{3}{8\sqrt{x}}$.
In alternativa, se si è interessati al solo passaggio al limite, basta calcolarsi esplicitamente gli integrali (salvo errori si ha
$\int_0^1 f_n = \frac{1}{2\sqrt{3n}} \arctan \frac{n^2}{3}$).
"gac":
Un modo per dimostrare che, per ogni $n$, $f_n(x) \le \frac{3}{8\sqrt{x}}$, $x\in (0,1]$, è questo.
Usiamo la disuguaglianza di Young
$ab \le \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q$
con $a = 1$, $b = (nx)^{3/2}$, $p=8/5$, $q=8/3$, ottenendo
$\frac{8}{3} (nx)^{3/2} \le \frac{5}{3}+(nx)^4 \le 3 + (nx)^4$.
Da qui si ricava
$f_n(x) = \frac{3}{8\sqrt{x}} \frac{\frac{8}{3} (nx)^{3/2}}{3+(nx)^4} \le \frac{3}{8\sqrt{x}}$.
In alternativa, se si è interessati al solo passaggio al limite, basta calcolarsi esplicitamente gli integrali (salvo errori si ha
$\int_0^1 f_n = \frac{1}{2\sqrt{3n}} \arctan \frac{n^2}{3}$).
Dato il programma di esame, che comunque ha coe parte rpincipale il passaggio al limite sotto il segno di integrale, penso sia più giusto risolvere il quesito cercando un maggiorante sommabile in [0,1].
Comunque non so se sia necessario scomodare Young, non vorrei aver sbagliato i conti, ma a me risulta che [tex]1 \over \sqrt x[/tex] maggiori le $ f_n $ e sia sommabile tra 0 e 1.
Beh, se non ho sbagliato i conti io, e se quindi $\frac{3}{8\sqrt{x}}$ maggiora le $f_n$, a maggior ragione anche $\frac{1}{\sqrt{x}}$ le maggiora.
"gac":
Beh, se non ho sbagliato i conti io, e se quindi $\frac{3}{8\sqrt{x}}$ maggiora le $f_n$, a maggior ragione anche $\frac{1}{\sqrt{x}}$ le maggiora.
In effetti....
se A scusa la stupidità
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