Successione di funzioni
Spero che la mia domanda anzi il mio esercizio "meriti" una risposta..
Allora, ho una successione
$fn(x) = nx/(1+n^2*x^2)$
devo verificare che NoN converge uniformente in [-1,1], ma in [1,+∞[ si.
Per prima cosa ho notato che essendo una succ chiusa e limita per Weierstrass è continua ed ammatte Max e Min.
La funzione se non erro è decrescente quindi il supFn(x)=-1
Svolgendo il lim n->∞ di supFn(-1) la funzione converge a 0 quindi (secondo il mio ragionamento) in [-1,1] converge uniformemente. Dove sbaglio?? O forse il testo è sbagliato
Allora, ho una successione
$fn(x) = nx/(1+n^2*x^2)$
devo verificare che NoN converge uniformente in [-1,1], ma in [1,+∞[ si.
Per prima cosa ho notato che essendo una succ chiusa e limita per Weierstrass è continua ed ammatte Max e Min.
La funzione se non erro è decrescente quindi il supFn(x)=-1
Svolgendo il lim n->∞ di supFn(-1) la funzione converge a 0 quindi (secondo il mio ragionamento) in [-1,1] converge uniformemente. Dove sbaglio?? O forse il testo è sbagliato
Risposte
"*eleOnOr@*":
La funzione se non erro è decrescente quindi il supFn(x)=-1
Ho fatto due veloci conti, ma a me non risulta sia ovunque decrescente.
In $(-1/n,1/n)$ mi pare cresca.
Studia meglio il segno della derivata prima.
A presto!
Si ho studiato la derivata e la funzione cresce in $]-∞,-1/n1/n,+∞[$
come mi devo comportare allora ??
come mi devo comportare allora ??
I rispettivi limiti della derivata nei punti x=1/n e x=-1/n per n->+∞ sono uguali a 1 e -1 quindi posso dire che la funzione non converge unifomemente in [-1/n,1/n] quindi posso dire che non converge in [-1,1]??????
Ricapitoliamo un po' i passi da compiere nello studio di una successione di funzioni $(f_n)$ definite in $I\subseteq RR$.
- Calcolare il limite puntuale $f$ in $I$;
- Formare le differenze $f-f_n$ (oppure $f_n-f$, a seconda di com'è più comodo) e studiare gli estremi di tali funzioni, ossia determinare per ogni $n\in NN$ i numeri $l_n="inf"_(x\in I) f(x)-f_n(x)$ ed $m_n="sup"_(x\in I) f(x)-f_n(x)$;*
- Porre $M_n=max\{ |l_n|,|m_n|\}$ e studiare la successione numerica $(M_n)$: se $M_n\to 0$, allora c'è convergenza uniforme; altrimenti no.
Nel tuo caso $f(x)=0$ in $RR$, cosicché $f_n(x)-f(x)=f_n(x)$; ogni $f_n$ è dispari, quindi $l_n=-m_n$; inoltre $f_n$ è di classe $C^oo$ e, derivando, si vede che prende massimo in $1/n$, tale massimo essendo $m_n=1$; quindi $M_n=1$ ed evidentemente $M_n$ non è infinitesima.
Quindi $(f_n)$ non converge unif. in $RR$; inoltre, visto che i punti di massimo/minimo di $f_n=f_n-f$ (che sono quelli che danno problemi per la convergenza uniforme) si accumulano intorno a $0$, puoi dire che $(f_n)$ non converge uniformemente in $[-1,1]$.**
Tuttavia, la convergenza è uniforme in $[1,+oo[$, in quanto $f_n$ è definitivamente decrescente e positiva in $[1,+oo[$, perciò risulta $l_n=0="inf"_(x >= 1)f_n(x)$ ed $m_n=n/(1+n*2) =f(1)="sup"_(x>=1) f_n(x)$ ed infine $M_n=n/(1+n^2) \to 0$.
P.S.: Come vedi, l'ironia del tuo primo post è fuori luogo. Qui siamo sempre disposti ad aiutare chi mostra il suo impegno:
questo è lo spirito del forum.
__________
* Ovviamente, se le $f-f_n$ soddisfano certe ipotesi (ad esempio, quelle del teorema di Weierstrass) allora $l_n,m_n$ sono da intendersi rispettivamente come minimo e massimo di $f-f_n$.
Inoltre se $f-f_n$ è derivabile si possono usare i classici strumenti del Calcolo Differenziale per determinare i valori di $l_n,m_n$.
** In realtà si potrebbe dire che la convergenza non è uniforme in alcun $U\subseteq RR$ che contiene qualche intorno destro o sinistro di $0$ (privato al più di $0$). Ad esempio, la convergenza non è uniforme nemmeno in $[-2,-1]\cup]0,1/2[$, che contiene l'intorno destro $[0,1/2[$ privato del punto $0$.
- Calcolare il limite puntuale $f$ in $I$;
- Formare le differenze $f-f_n$ (oppure $f_n-f$, a seconda di com'è più comodo) e studiare gli estremi di tali funzioni, ossia determinare per ogni $n\in NN$ i numeri $l_n="inf"_(x\in I) f(x)-f_n(x)$ ed $m_n="sup"_(x\in I) f(x)-f_n(x)$;*
- Porre $M_n=max\{ |l_n|,|m_n|\}$ e studiare la successione numerica $(M_n)$: se $M_n\to 0$, allora c'è convergenza uniforme; altrimenti no.
Nel tuo caso $f(x)=0$ in $RR$, cosicché $f_n(x)-f(x)=f_n(x)$; ogni $f_n$ è dispari, quindi $l_n=-m_n$; inoltre $f_n$ è di classe $C^oo$ e, derivando, si vede che prende massimo in $1/n$, tale massimo essendo $m_n=1$; quindi $M_n=1$ ed evidentemente $M_n$ non è infinitesima.
Quindi $(f_n)$ non converge unif. in $RR$; inoltre, visto che i punti di massimo/minimo di $f_n=f_n-f$ (che sono quelli che danno problemi per la convergenza uniforme) si accumulano intorno a $0$, puoi dire che $(f_n)$ non converge uniformemente in $[-1,1]$.**
Tuttavia, la convergenza è uniforme in $[1,+oo[$, in quanto $f_n$ è definitivamente decrescente e positiva in $[1,+oo[$, perciò risulta $l_n=0="inf"_(x >= 1)f_n(x)$ ed $m_n=n/(1+n*2) =f(1)="sup"_(x>=1) f_n(x)$ ed infine $M_n=n/(1+n^2) \to 0$.
P.S.: Come vedi, l'ironia del tuo primo post è fuori luogo. Qui siamo sempre disposti ad aiutare chi mostra il suo impegno:
questo è lo spirito del forum.
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* Ovviamente, se le $f-f_n$ soddisfano certe ipotesi (ad esempio, quelle del teorema di Weierstrass) allora $l_n,m_n$ sono da intendersi rispettivamente come minimo e massimo di $f-f_n$.
Inoltre se $f-f_n$ è derivabile si possono usare i classici strumenti del Calcolo Differenziale per determinare i valori di $l_n,m_n$.
** In realtà si potrebbe dire che la convergenza non è uniforme in alcun $U\subseteq RR$ che contiene qualche intorno destro o sinistro di $0$ (privato al più di $0$). Ad esempio, la convergenza non è uniforme nemmeno in $[-2,-1]\cup]0,1/2[$, che contiene l'intorno destro $[0,1/2[$ privato del punto $0$.
MMmmm ho sbagliato il segno della derivata!
Mi puoi spiegare per favore questo che hai scritto "derivando, si vede che prende massimo in $1/n$ (Ok), tale massimo essendo $m_n=1$; quindi $M_n=1$ ed evidentemente $M_n$ non è infinitesima. "
Mi puoi spiegare per favore questo che hai scritto "derivando, si vede che prende massimo in $1/n$ (Ok), tale massimo essendo $m_n=1$; quindi $M_n=1$ ed evidentemente $M_n$ non è infinitesima. "
"*eleOnOr@*":
MMmmm ho sbagliato il segno della derivata!
Mi puoi spiegare per favore questo che hai scritto "derivando, si vede che prende massimo in $1/n$ (Ok), tale massimo essendo $m_n=1$; quindi $M_n=1$ ed evidentemente $M_n$ non è infinitesima. "
Che $x_n=1/n$ sia un punto di massimo assoluto non ci piove; d'altra parte, per la disparità della $f_n$, $-x_n=-1/n$ è un punto di minimo assoluto.
I valori massimo e minimo assoluti presi da $f_n$ sono rispettivamente $m_n=f_n(1/n)=1, l_n=f_n(-1/n)=-1$; ricordato che $M_n:=max\{ |m_n|,|l_n|\}$, si ha $M_n=1$.
Noto esplicitamente che $M_n="sup" |f_n-f|$, perciò esso è importante per la convergenza uniforme.
Che poi $M_n=max\{ |"sup "f_n-f|,|"inf "f_n-f|\}$ è facile da controllare.
ok
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