Successione di funzioni

[bad.alex]

Buona sera a tutti. Avrei bisogno del vostro aiuto. Mi trovo a risolvere un esercizio:
data la successione di funzioni $f_n(x)= root(n){1+x^n} :[0,2]->R$
vedere se essa converge uniformemente in [0,2]
Per prima cosa, ho provato a determinare il limite puntuale di $(f_n)$ con $f_n=root(n){1+x^n}$ per ogni x appartenente all'intervallo [0,2].
Tenendo presente che $x$ altro non è che la ragione della serie geometrica $x^n$, si deve tener conto che:
- se $x>=1$ la serie diverge; allora non limite puntuale non converge;
- se $x<=-1$ la serie risulta essere indeterminata;
- se $ |x|<1$ la serie è convergente.
Tuttavia, adesso, non riesco a trovare la funzione limite, pur avendo distinto i casi di convergenza/divergenza / indeterminazione della serie.
Sapreste aiutarmi?

vi ringrazio

[rubik2]

a parte che bastava guardare il post "come si scrivono le formule" per trovare come scrivere la radice n-esima, non ho capito una cosa

tu hai $f_n(x)=root(n)(1+x^n)$ che c'entra la serie geometrica?

[bad.alex]

beh....credevo occorresse distinguere i casi per $x^n$... se non c'entra, come faccio a studiarne convergenza puntuale/uniforme?

[rubik2]

tu devi fare $\lim_{n->+oo}f_n(x)$ per $x in [0,2]$ come dice il testo del problema, per trovare il limite puntuale

guardiamo un caso particolare: per $x=1$ devi fare il limite $\lim_{n->+oo}root(n)(2)=1$ (nonostante la serie geometrica diverga per $x=1$)

tutto questo se devi studiare la successione di funzioni, se devi studiare la serie $sum f_n(x)$ è un'altra storia ma non credo perchè il termine n-esimo non è mai infinitesimo $f_n(x)>=1$

[bad.alex]

Vediamo un pò se ho svolto correttamente:
per x=1, come hai già detto tu, la funzione tende a 1.
per x=-1, la funzione è oscillante
per x<-1, la funzione è oscillante
per x>1 la funzione....non sono riuscito a calcolarne il limite ( $lim_n 1+x^n =+oo$ ma $lim_n (1+x^n)^(1/n)=?$)
per x=0, la funzione ha per limite 1.

edit. malgrado non sia riuscito a svolgere quella forma indeterminata per x>1, dovrei trovare che la funzione limite è uguale ad 1 per $|x|<1$ Pertanto vi è convergenza uniforme. per studiare convergenza uniforme in [0,2] dovrei procedere in questo modo:
sup$_[0,2] |(f_n(x)-f(x))|=0$ avendo indicato con f(x) il valore trovato della funzione limite. La mia funzione dovrebbe essere crescente, pertanto l'estremo superiore lo dovrei avere in 2. E' corretto sin qui il mio ragionamento? anche perchè adesso non saprei continuare...

[rubik2]

il testo ti da $x in [0,2]$ inutile e dannoso guardare le x negative, la successione potrebbe convergere uniformemente sui positivi e non sui negativi.

non hai fatto $0<=x<1$ che è un caso semplice, provaci

il limite che non riesci a fare si può provare con i carabinieri: vale $x^n<=1+x^n<=2x^n$ per $x>=1$ se faccio la radice n-esima conservo le disuguaglianze $x<=root(n)(1+x^n)<=x*root(n)(2)$ mandando $n->+oo$ si ottiene che il limite è $x$

[bad.alex]

ma una volta trovato il valore x, devo distinguere altri casi?
per 0
p.s. per confronto, si dovrebbe avere: 0<1<2 aggiungendo ambo i membri $x^n$ si avrà: $x^n<1+x^n<2+x^n$ segue estrazione di radice... o è sbagliato??

[rubik2]

una volta trovata la funzione limite che è $f(x)={(1, 0<=x<=1),(x, 1
$"sup"|f_n(x)-f(x)|$ fatto su $x in [0,2]$

per $0<=x<=1$ il $"sup"|f_n(x)-f(x)|=root(n)(2)-1$ che tende a zero per $n->+oo$

per $1

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[bad.alex]

Ho svolto i calcoli. Risulta essere infinitesima anche nel secondo intervallo. Conclusione: converge uniformemente nell'intervallo datomi. Ti ringrazio immensamente, rubik. Grazie per la pazienza nei miei confronti.
Buona serata, Alex

p.s. ma il secondo intervallo è aperto a sinistra? possibile?
cioè, la ricerca della convergenza uniforme la si cerca nell'intervallo ]1,2]?
Mi sembra, ma possibile che mi sbagli , che per esserci convergenza uniforme occorre avere continuità nella funzione limite ( quindi x dovrebbe essere uguale a 1) ....

[rubik2]

"bad.alex":Ho svolto i calcoli. Risulta essere infinitesima anche nel secondo intervallo. Conclusione: converge uniformemente nell'intervallo datomi. Ti ringrazio immensamente, rubik. Grazie per la pazienza nei miei confronti.
Buona serata, Alex

p.s. ma il secondo intervallo è aperto a sinistra? possibile?
cioè, la ricerca della convergenza uniforme la si cerca nell'intervallo ]1,2]?
Mi sembra, ma possibile che mi sbagli , che per esserci convergenza uniforme occorre avere continuità nella funzione limite ( quindi x dovrebbe essere uguale a 1) ....

la funzione limite è continua, il punto x=1 l'hai studiato nella prima metà. Era necessario spezzare perchè la funzione limite ha due "espressioni" diverse. Ciao

[bad.alex]

Ok, rubik. Grazie infinite