Successione di funzioni
Ragazzi,
ho un esercizio di un compito che nn riwesco a capire perkè la prof l'ha fatto così
data la successione di funzioni $f_n(x)=sqrtn xe^(-n^2x^2)$
studiare la convergenza se è uniforme;
La prof ha risolto così:
Per ogni $n$ fissato la funzione $f_n(x)$ è continua in $R$ e dispari(perkè viene dispari?); inoltre $f_n(x)>0$ in $]0,+infty[, f_n(0)=0$,
$lim_(x->+infty) f_n(x)=0$, quindi $f_n(x)$ ha minimo e massimo assoluti in $R$( cioè lei ha dedotto che il massimo è sicuramente un numero positivo e che il minimo è 0?). Con semplici calcoli si vede che $f'_n(x)=0 if x=+-1/(sqrt2n)$,(come si è calcolata questo numero, ha fatto la derivata della $f_n(x)$(ma come??)
allora $M_n=max|f_n(x)-f|=max|f_n|=max_{0\ to\ infty}f_n=f_n (1/(sqrt2n))=sqrtn/(sqrt(2e)n)$(ma che ha fatto qui all'ultimo come ha fatto uscire sto numero??),
poichè $lim M_n=0$ , la successione converge uniformemente in $R$(e su questo mi trovo)
Ma perkè si è calcolata che massimo e minimo assoluti siano presenti in $R$?
Aiutatemi. Grazie a tutti e buon anno.
ho un esercizio di un compito che nn riwesco a capire perkè la prof l'ha fatto così
data la successione di funzioni $f_n(x)=sqrtn xe^(-n^2x^2)$
studiare la convergenza se è uniforme;
La prof ha risolto così:
Per ogni $n$ fissato la funzione $f_n(x)$ è continua in $R$ e dispari(perkè viene dispari?); inoltre $f_n(x)>0$ in $]0,+infty[, f_n(0)=0$,
$lim_(x->+infty) f_n(x)=0$, quindi $f_n(x)$ ha minimo e massimo assoluti in $R$( cioè lei ha dedotto che il massimo è sicuramente un numero positivo e che il minimo è 0?). Con semplici calcoli si vede che $f'_n(x)=0 if x=+-1/(sqrt2n)$,(come si è calcolata questo numero, ha fatto la derivata della $f_n(x)$(ma come??)
allora $M_n=max|f_n(x)-f|=max|f_n|=max_{0\ to\ infty}f_n=f_n (1/(sqrt2n))=sqrtn/(sqrt(2e)n)$(ma che ha fatto qui all'ultimo come ha fatto uscire sto numero??),
poichè $lim M_n=0$ , la successione converge uniformemente in $R$(e su questo mi trovo)
Ma perkè si è calcolata che massimo e minimo assoluti siano presenti in $R$?
Aiutatemi. Grazie a tutti e buon anno.
Risposte
Ragazzi mi potreste dire come fa a dire che la succ di funzioni è dispari?
Poi perkè si ha messo in mezzo sto minimo e massimo assoluti?
E poi, cosa più importante come ha fatto la $f'_n(x)=0 if x=+- 1/sqrt2n$?
Quando si è trovata il massimo $sqrtn/(sqrt2en)$ ma come ha fatto a cambiare quel semplice $(1/(sqrt2n))?
Spero in una vostra risposta grazie a tutti.
Scusate avevo sbagliato a scrivere la succ di funzioni iniziale, adesso ho messo quella giusta.
Poi perkè si ha messo in mezzo sto minimo e massimo assoluti?
E poi, cosa più importante come ha fatto la $f'_n(x)=0 if x=+- 1/sqrt2n$?
Quando si è trovata il massimo $sqrtn/(sqrt2en)$ ma come ha fatto a cambiare quel semplice $(1/(sqrt2n))?
Spero in una vostra risposta grazie a tutti.
Scusate avevo sbagliato a scrivere la succ di funzioni iniziale, adesso ho messo quella giusta.
Beh dai $f_n(-x)=-f_n(x)$ per cui la funzione è dispari.
Si ha poi $f_n^{\prime}(x)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)+sqrt(n)x(-2n^2x)e^-(n^2x^2)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)$. Da $f_n^{\prime}(x)=0$ si ha subito $1-2n^2x^2=0$ da cui il tuo risultato.
Si ha poi $f_n^{\prime}(x)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)+sqrt(n)x(-2n^2x)e^-(n^2x^2)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)$. Da $f_n^{\prime}(x)=0$ si ha subito $1-2n^2x^2=0$ da cui il tuo risultato.
La succ è dispari cioè $sqrtn(-x)e^(-n^2(-x^2))=-[sqrtn(x)e^(-n^2x^2)]$?
ti potresti spiegare meglio?
ti potresti spiegare meglio?
Certo che mi spiego meglio: per definizione una funzione $f$ si dice dispari se risulta $f(-x)=-f(x)$ per ogni $x$ appartenente all'insieme di definizione della funzione. Similmente una funzione $f$ si dice pari se risulta $f(-x)=f(x)$ per ogni $x$ appartenente all'insieme di definizione della funzione.
nel post precedente alla tua risposta?
Cmq per favore mi potresti rispondere alle altre due domande ovvero:
Poi perkè si ha messo in mezzo sto minimo e massimo assoluti?
Quando si è trovata il massimo $sqrtn/(sqrt2en)$ ma come ha fatto a cambiare quel semplice $(1/sqrt2n)$
Ti ringrazio cmq per tutti i tuoi suggerimenti
Cmq per favore mi potresti rispondere alle altre due domande ovvero:
Poi perkè si ha messo in mezzo sto minimo e massimo assoluti?
Quando si è trovata il massimo $sqrtn/(sqrt2en)$ ma come ha fatto a cambiare quel semplice $(1/sqrt2n)$
Ti ringrazio cmq per tutti i tuoi suggerimenti
Abbiamo visto che la derivata prima di $f_n(x)$ si annulla per $x=+-1/(sqrt(2)n)$.
Allora andiamo a valutare quanto vale la funzione in tali punti: ebbene si ha
$f_n(1/(sqrt(2)n))=sqrt(n)[1/(sqrt(2)n)]e^-(n^2[1/(sqrt(2)n)]^2)=sqrt(n)/(sqrt(2)n)e^(-1/2)=sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$
L'altro valore lo ricavi immediatamente dal fatto che la funzione è dispari, quindi $f_n(-1/(sqrt(2)n))=-sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$
E' chiaro?
Allora andiamo a valutare quanto vale la funzione in tali punti: ebbene si ha
$f_n(1/(sqrt(2)n))=sqrt(n)[1/(sqrt(2)n)]e^-(n^2[1/(sqrt(2)n)]^2)=sqrt(n)/(sqrt(2)n)e^(-1/2)=sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$
L'altro valore lo ricavi immediatamente dal fatto che la funzione è dispari, quindi $f_n(-1/(sqrt(2)n))=-sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$
E' chiaro?
Questo è "chiaro" ma mi faresti capire come si fa ad intuire che la successione di funzioni è dispari?
Poi mi potresti dire perkè si è cercata che minimo e massimo assoluti della successione esistono in R?
Poi mi potresti dire perkè si è cercata che minimo e massimo assoluti della successione esistono in R?
come hai fatto a trovarti la derivata =0, ho capito tutti i tuoi passaggi sono perfetti;
però dici $sqrt n e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)$ e poi come fai a capire che è =0?
Poi dici $f'_n(x)=0$ perchè subito dopo scrivi che solo $1-2n^2x^2=0$?
grazie comunque per tutto
però dici $sqrt n e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)$ e poi come fai a capire che è =0?
Poi dici $f'_n(x)=0$ perchè subito dopo scrivi che solo $1-2n^2x^2=0$?
grazie comunque per tutto
Credo che sia meglio riprendere l'esercizio dall'inizio.
Data la successione di funzioni $f_n(x)=sqrtn xe^(-n^2x^2)$
stabilire se la convergenza è uniforme.
Intanto vediamo che per ogni $n$ fissato la funzione $f_n(x)$ è continua in $RR$ come composta di funzioni continue.
Inoltre è immediato verificare, in base alla definizione, che $f_n(x)$ è dispari. Per definizione una funzione $g$ si dice dispari se risulta $g(-x)=-g(x)$ per ogni $x$ appartenente al suo insieme di definizione. Quindi nel nostro caso si ha: $f_n(-x)=sqrt(n)(-x)e^(-n^2(-x)^2)=-sqrt(n)xe^(-n^2(x)^2)=-f_n(x)$. Pertanto, in un certo senso, possiamo limitarci a studiare la successione di funzioni in $[0,+infty[.$
Si ha immediatamente $f_n(x)>0$ in $]0,+infty[.$ e $f_n(0)=0$.
E' anche $lim_(x->+infty) f_n(x)=0$, quindi, tenuto conto della continuità e di quanto appena osservato $f_n(x)$ ha minimo e massimo assoluti in $[0,+infty[.$. Il minimo evidentemente si ha per $x=0$ e vale $0$. Il massimo lo possiamo tranquillamente determinare vedendo dove si annulla la derivata prima.
Bene calcoliamoci questa derivata prima:
$f_n^{\prime}(x)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)+sqrt(n)x(-2n^2x)e^-(n^2x^2)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)$.
Questa si annulla quando $f_n^{\prime}(x)=0$ ossia quando $sqrt(n)e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)=0$, ossia, poichè la componente esponenziale è sempre positiva, quando $1-2n^2x^2=0$, quindi per $x=+-1/(sqrt(2)n)$.
Il massimo (assoluto) lo troviamo valutando $f_n(x)$ in $x=1/(sqrt(2)n)$: $f_n(1/(sqrt(2)n))=sqrt(n)[1/(sqrt(2)n)]e^-(n^2[1/(sqrt(2)n)]^2)=sqrt(n)/(sqrt(2)n)e^(-1/2)=sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$.
Per vedere se la successione di funzioni converge uniformemente in $RR$ alla funzione identicamente nulla dobbiamo provare che $lim_(nto\ infty) M_n=0$.
E' $M_n=max_(x)|f_n(x)-0|=max_(x)|f_n(x)|=f_n (1/(sqrt2n))=sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$ da cui $lim_(nto\ infty) M_n=lim_(nto\ infty) sqrt(n)/(sqrt(2e)n)=0$
Questo è quanto ti è stato fatto vedere a lezione.
Data la successione di funzioni $f_n(x)=sqrtn xe^(-n^2x^2)$
stabilire se la convergenza è uniforme.
Intanto vediamo che per ogni $n$ fissato la funzione $f_n(x)$ è continua in $RR$ come composta di funzioni continue.
Inoltre è immediato verificare, in base alla definizione, che $f_n(x)$ è dispari. Per definizione una funzione $g$ si dice dispari se risulta $g(-x)=-g(x)$ per ogni $x$ appartenente al suo insieme di definizione. Quindi nel nostro caso si ha: $f_n(-x)=sqrt(n)(-x)e^(-n^2(-x)^2)=-sqrt(n)xe^(-n^2(x)^2)=-f_n(x)$. Pertanto, in un certo senso, possiamo limitarci a studiare la successione di funzioni in $[0,+infty[.$
Si ha immediatamente $f_n(x)>0$ in $]0,+infty[.$ e $f_n(0)=0$.
E' anche $lim_(x->+infty) f_n(x)=0$, quindi, tenuto conto della continuità e di quanto appena osservato $f_n(x)$ ha minimo e massimo assoluti in $[0,+infty[.$. Il minimo evidentemente si ha per $x=0$ e vale $0$. Il massimo lo possiamo tranquillamente determinare vedendo dove si annulla la derivata prima.
Bene calcoliamoci questa derivata prima:
$f_n^{\prime}(x)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)+sqrt(n)x(-2n^2x)e^-(n^2x^2)=sqrt(n)e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)$.
Questa si annulla quando $f_n^{\prime}(x)=0$ ossia quando $sqrt(n)e^-(n^2x^2)(1-2n^2x^2)=0$, ossia, poichè la componente esponenziale è sempre positiva, quando $1-2n^2x^2=0$, quindi per $x=+-1/(sqrt(2)n)$.
Il massimo (assoluto) lo troviamo valutando $f_n(x)$ in $x=1/(sqrt(2)n)$: $f_n(1/(sqrt(2)n))=sqrt(n)[1/(sqrt(2)n)]e^-(n^2[1/(sqrt(2)n)]^2)=sqrt(n)/(sqrt(2)n)e^(-1/2)=sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$.
Per vedere se la successione di funzioni converge uniformemente in $RR$ alla funzione identicamente nulla dobbiamo provare che $lim_(nto\ infty) M_n=0$.
E' $M_n=max_(x)|f_n(x)-0|=max_(x)|f_n(x)|=f_n (1/(sqrt2n))=sqrt(n)/(sqrt(2e)n)$ da cui $lim_(nto\ infty) M_n=lim_(nto\ infty) sqrt(n)/(sqrt(2e)n)=0$
Questo è quanto ti è stato fatto vedere a lezione.
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