Successione di funzioni

[Chicco_Stat_1]

salve a tuttiiiiiii
tanto per cominciare buon anno, primo post del 2008 per me, e vengo subito a rompervi le scatole..

adunque, sto ripassando ancora un po' le successioni di funzioni, il problema è questo:

$f_n(x)=arctg(nx)/n$

stabilirne l'insieme di convergenza puntuale e dire se risulta anche uniforme.

allora, graficamente la cosa si presenta così (perdonate il grafico un po' grezzo)




per trovare l'insieme di convergenza puntuale (oltre che ad occhio ) ho fissato un $x=x_0$ qualunque e calcolato

$lim_(n->oo) arctg(nx_0)/n$

che se non sbaglio fa $0$ $AA x inRR$. Concludo dunque che la successione converge puntualmente in tutto $RR$.

ora devo verificare la convergenza uniforme...e qui mi blocco un attimo..

normalmente avrei fatto lo studio di funzione per trovare max e min e avrei fatto il limite delle rispettive successioni per vedere se convergono o meno a zero..
qui max e min non ne ho, ho gli asintoti, per i quali (assolutamente a naso visto che sono limiti che non conosco granché quelli dell'arctan) ho stimato fossero $x=\pmpi/(2n)$

ora..questi tendono effettivamente a $0$ al divergere di $n$...posso concludere che vi sia anche convergenza uniforme su tutto $RR$? o no? e se no, perché? e percome? e perquando? =D

grazie della pazienza signori! e ancora buon anno

[Fioravante Patrone1]

$|arctg(t)| \le \pi/2$ per ogni $t \in RR$

Quindi $|arctg(nx)/n| \le \pi/{2n} \to 0$

Pertanto converge uniformemente (a zero).

[gugo82]

"Chicco_Stat_":salve a tuttiiiiiii
tanto per cominciare buon anno, primo post del 2008 per me, e vengo subito a rompervi le scatole..

adunque, sto ripassando ancora un po' le successioni di funzioni, il problema è questo:

$f_n(x)=arctg(nx)/n$

stabilirne l'insieme di convergenza puntuale e dire se risulta anche uniforme.

per trovare l'insieme di convergenza puntuale (oltre che ad occhio ) ho fissato un $x=x_0$ qualunque e calcolato

$lim_(n->oo) arctg(nx_0)/n$

che se non sbaglio fa $0$ $AA x inRR$. Concludo dunque che la successione converge puntualmente in tutto $RR$.

Esatto, c'è convergenza puntuale verso l'applicazione $f$ identicamente nulla in $RR$.

"Chicco_Stat_":ora devo verificare la convergenza uniforme...e qui mi blocco un attimo..

normalmente avrei fatto lo studio di funzione per trovare max e min e avrei fatto il limite delle rispettive successioni per vedere se convergono o meno a zero..
qui max e min non ne ho, ho gli asintoti, per i quali (assolutamente a naso visto che sono limiti che non conosco granché quelli dell'arctan) ho stimato fossero $x=\pmpi/(2n)$

ora..questi tendono effettivamente a $0$ al divergere di $n$...posso concludere che vi sia anche convergenza uniforme su tutto $RR$? o no? e se no, perché? e percome? e perquando? =D

grazie della pazienza signori! e ancora buon anno

Ok, non hai $max$ e $min$, ma per la convergenza uniforme ti serve studiare la successione di termine generale $"sup"_RR |f_n-f|$: se questa è infinitesima hai convergenza uniforme in tutto $RR$.
Nel tuo caso, come hai già notato, risulta $"sup"_RR |f_n-f|="sup"_RR |f_n|=pi/(2n)$ quindi è $"sup"_RR|f_n-f|to 0$ e la convergenza di $f_n$ verso l'applicazione nulla è uniforme in $RR$.

[Chicco_Stat_1]

bella lì! ehmm volevo dire, ottimo!

grazie mille