Successione di Funzioni 4

[rccc_8]

$ (2-x)(1-x/n) $ su $ [0,2] $

$ lim_{n to oo}(2-x)(1-x/n)=2-x $

$ Sup_ { [0,2] }(|(2-x)(1-x/n)-(2-x)|) $

quindi $ Sup_ { [0,2] }((2-x)(-x/n)) $

e poi?

[Camillo]

Adesso devi vedere se

$ lim_(n rarr oo) "sup"_(x in [0,2]) |( f_n(x)-f(x) | = 0 $.

[rccc_8]

si, però sono fermo al calcolo del Sup

[Camillo]

Devi cercare il Sup di $ |(2-x)(-x/n) |$ ; considerando che $x in [0,2] $ è come dire trovare il Sup di $ (2-x)*x/n = (2x-x^2)/n$.
Deriva la funzione rispetto ad x e avrai che il max si ottiene per $x = 1 $ e vale $ 1/n $ ...

[rccc_8]

quindi ho sia CP che CU nell'intervallo perchè esiste limite finito ed il limite del sup è 0, corretto?

[Camillo]

Sì
CP) la successione $(f_n)$ converge puntualmente a $ f $ in quanto, tenendo fisso $x $ nell'intervallo $[0,2] $ e facendo tendere $n rarr oo $ si ottiene la funzione $f $.

CU) $lim_(n rarr oo)$ sup $| f_n(x)-f(x)| = 0 $.