Successione di funzioni

[miuemia]

ho trovato sul mio libro di analisi questo esercizio:
trovare una successione di funzioni equicontinue ma non equilipschitziane.
sapete darmi un esempio?

[Fioravante Patrone1]

esempio super scemo
prendo una funzione non lipschitziana
esempio, $\sqrt{x}$ su $[0,1]$

questa è uniformemente continua, quindi la successione di funzioni $f_n$ che per ogni $n$ coincide con lei è una famiglia equicontinua

la stessa successione non è, ovviamente, equilipschitziana

se vuoi un esempio (apparentemente) più sfiziozo, modifica a $f_n$ raccordando linearmente il valore che assume on $0$ con quello che assume in $1/n$
l'equicontinuità è salva, mentre la costante di Lipschitz esplode

s.e.o.
ciao

[miuemia]

si avevo trovato questo esempio ma lo vorrei su una successione che dipenda realmente da $n$ non ho ben capito il raccordo che ndevo fare me lo puoi illustrare gentilmente?
grazie

[Fioravante Patrone1]

$f_n$ è definita così:

per $x \in [0, 1/n]$ il suo grafico è il segmento che congiunge $(0,0)$ con $(1/n, \sqrt{1/n})$
per $x \in [1/n,1]$ il suo grafico è quello di $\sqrt{x}$

ciao