Successione di funzioni 2
convergenza puntuale di $ f_n(x)=(x-1)^n/(1+x^n)arctan(n^(x-1)) $
se x=1 $f_n(1)=0$
se x>1 $f_n(x) $ ~ $ pi/2 (x-1)^n/(1+x^n)$ $->0$
se x<1 $f_n(x) $ ~ $ (x-1)^n/(1+x^n) 1/(n^(1-x))$ $->0$
quindi l'insieme di convergenza E=R e la funzione limite è f(x)=0
se x=1 $f_n(1)=0$
se x>1 $f_n(x) $ ~ $ pi/2 (x-1)^n/(1+x^n)$ $->0$
se x<1 $f_n(x) $ ~ $ (x-1)^n/(1+x^n) 1/(n^(1-x))$ $->0$
quindi l'insieme di convergenza E=R e la funzione limite è f(x)=0
Risposte
è giusto?
Il caso \(x>1\) è sbagliato.
Inoltre, che ne è degli \(x<0\)?
Inoltre, che ne è degli \(x<0\)?
ho distinto i vari casi:
$lim_(n->+oo) x^n ={( 1,x=1 ),(+oo,x>1),(0,|x|<1),( non EE,x<=-1):} $
$lim_(n->+oo) (x-1)^n ={( 1,x=2 ),(+oo,x>2),(0,0
$lim_(n->+oo) arctg(n)^(x-1) ={( 0,x<1 ),(pi/4,x=1),(pi/2,x>1):} $
combinando i vari casi mi viene convergenza puntuale in $(0,+oo)$ alla funzione nulla.
$lim_(n->+oo) x^n ={( 1,x=1 ),(+oo,x>1),(0,|x|<1),( non EE,x<=-1):} $
$lim_(n->+oo) (x-1)^n ={( 1,x=2 ),(+oo,x>2),(0,0
$lim_(n->+oo) arctg(n)^(x-1) ={( 0,x<1 ),(pi/4,x=1),(pi/2,x>1):} $
combinando i vari casi mi viene convergenza puntuale in $(0,+oo)$ alla funzione nulla.
"gugo82":
Il caso \(x>1\) è sbagliato.
Inoltre, che ne è degli \(x<0\)?
perché $x>1$ è sbagliato?
per la convergenza uniforme posso dire $|f_n(x)|<=arctan(n^(x-1))$ e avrei convergenza uniforme negli intervalli $(0,M], M in (0,1)$ ?
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