Successione di Funzioni 2

[rccc_8]

$ f_n(x)=sin(x) + (2n)/(1+n^2x^2) $ con $ x in [0,oo) $

per $ x=0 $ $ lim_{n to oo}(2n)/(1+n^2x^2)=0 $ c'è C.Puntuale

per $ x>0 $ come si fa?

e la C.Uniforme su $ [1,oo) $ ? come "gestisco" $ sin(x) $ ?

[e^iteta]

per$x=0$ $lim_(n->oo) (2n)/(1+n^2x^2)=0$

sei sicuro?

per $x=0$ si ha:
$lim_(n->oo) (2n)/(1+n^2x^2)=lim_(n->oo) (2n)=+oo$

è per $x>0$ che vale $lim_(n->oo) (2n)/(1+n^2x^2)=0$, infatti in tal caso $n^2$ al denominatore "sopravvive" e batte $2n$ al numeratore.

per la convergenza uniforme deve essere

sup$|f_n(x)-f(x)|N_0$)
cioè nel nostro caso

sup$|sin(x) - sin(x) - (2n)/(1+n^2x^2)|$
direi che da qui è fattibile no?

[zorn1]

già... a parte il seno la funzione (la parte dipendente da n) è pari... quindi convergendo per x>0 converge pure per x<0; non converge per x=0, questo comporta che non converge uniformemente

[rccc_8]

...è vero, chissà a che pensavo

[Fioravante Patrone1]

"zorn":già... a parte il seno la funzione (la parte dipendente da n) è pari... quindi convergendo per x>0 converge pure per x<0; non converge per x=0, questo comporta che non converge uniformemente

attenzione!

$f_n (x) =$
= $ (-1)^n$ per $x=0$
= $ 0$ per $x!=0$

è pari, converge per $x>0$ (e per $x<0$...), non converge in zero ma converge uniformemente su $RR \\ {0}$