Successione di funzioni

[math-votailprof]

Salve a tutti, il testo di un esercizio d'esame recita così:

Al variare di x reale, determinare per quali x la successione data è limitata:

$a_n= (-1)^n (1+sqrt(n+2)-sqrt(n-1)))^(n^x)$

Il professore ha detto che si usano il massimo e minimo limite... Ma non ho assolutamente idea di come si faccia.. Qualche consiglio please? Grazie

[ostrogoto1]

Una maniera di procedere potrebbe essere studiare la convergenza di $ |a_n| $ [vedi testo nascosto] e poi appellarsi al teorema per il quale se una successione converge allora e' limitata quindi se $ |a_n| $ e' convergente, allora la successione iniziale e' limitata: $ |a_n| Cosi' torna pero' non uso massimo e minimo limite...

$ beta_n=(1+sqrt(n+2)-sqrt(n-1))^(n^x)=(1+sqrt(n)(sqrt(1+2/n)-sqrt(1-1/n)))^(n^x)=(1+sqrt(n)(1-1/n-1+1/(2n)+o(1/n)))^(n^x)=(1+3/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n)))^(n^x)=exp[n^xln(1+3/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n)))]=exp[3/2n^(x-1/2)+o(n^(x-1/2))] $

per $ nrarr+oo $ $ beta_nrarr{ ( +oo" "x>1/2 ),( e^(3/2)" "x=1/2 ),( 1" "x<1/2 ):} $

[math-votailprof]

OK grazie! Ma nei punti dove non converge come si studia la limitatezza? Il prof ha detto massimo e minimo limite

[ostrogoto1]

Se $ |a_n|rarr+oo $ per $ nrarr+oo $ allora $ a_n $ illimitata per definizione di successione divergente. In questo caso la successione in modulo converge o diverge, quindi siamo a posto.
probabilmente con il sistema del prof devi studiare le sottosuccessioni in modo da trovare l'insieme limite.

[math-votailprof]

ok...e tu non sai come si fa, mi sembra di capire...

[ostrogoto1]

Se vuoi calcolare massimo e minimo limite,dopo i calcoli fatti non e' difficile.
Nel caso in cui $ |a_n| $ diverga il massimo limite e il minimo limite sono ovviamente $ +-oo $: basta considerare la sottosuccessione di posto pari e quella di posto dispari.
Prova un po' tu a pensare cosa puo' succedere quando $ |a_n| $ converge...

[math-votailprof]

Ok, va bene grazie mille per l'aiuto