Successione di funzioni
Devo studiare la convergenza puntuale della successione
$ f_n(x) = frac{x^n} {n+x^{2n}} $
Studio i diversi casi:
1) Se $ x=0 \Rightarrow f_n(x) = 1/n \rightarrow 0 $
2) Se $ |x|<1 \Rightarrow x^n \rightarrow 0 (serie g eometrica) \Rightarrow f_n(x) \rightarrow 0 $
3) Se $ x>1 \Rightarrow x^n \rightarrow +\infty \Rightarrow f_n(x)= \frac{x^n}{n+x^{2n}} < frac{x^n}{x^{2n}} = \frac{1}{x^n} \rightarrow 0 $
4) Se $ x=1 \Rightarrow f_n(x) = frac{1}{n+1} \rightarrow 0 $
5) Se $ x<-1 \Rightarrow x^n \ oscilla\ e\ x^{2n} \rightarrow \infty $ ma posso osservare che quando $ x^n \rightarrow 0 \Rightarrow f_n(x) \rightarrow 0 $ mentre quando $ x^n \rightarrow \infty $ riapplicando il procedimento al punto 3 ottengo che $ f_n(x) \rightarrow 0 $.
Concludo che la successione tende a 0.
Qualcuno può aiutarmi dicendomi se ho sbagliato qualche ragionamento? Purtroppo dispongo di pochi esercizi con le soluzioni...e soprattutto per quanto riguarda il 5 punto ho parecchi dubbi.
Grazie a tutti!
$ f_n(x) = frac{x^n} {n+x^{2n}} $
Studio i diversi casi:
1) Se $ x=0 \Rightarrow f_n(x) = 1/n \rightarrow 0 $
2) Se $ |x|<1 \Rightarrow x^n \rightarrow 0 (serie g eometrica) \Rightarrow f_n(x) \rightarrow 0 $
3) Se $ x>1 \Rightarrow x^n \rightarrow +\infty \Rightarrow f_n(x)= \frac{x^n}{n+x^{2n}} < frac{x^n}{x^{2n}} = \frac{1}{x^n} \rightarrow 0 $
4) Se $ x=1 \Rightarrow f_n(x) = frac{1}{n+1} \rightarrow 0 $
5) Se $ x<-1 \Rightarrow x^n \ oscilla\ e\ x^{2n} \rightarrow \infty $ ma posso osservare che quando $ x^n \rightarrow 0 \Rightarrow f_n(x) \rightarrow 0 $ mentre quando $ x^n \rightarrow \infty $ riapplicando il procedimento al punto 3 ottengo che $ f_n(x) \rightarrow 0 $.
Concludo che la successione tende a 0.
Qualcuno può aiutarmi dicendomi se ho sbagliato qualche ragionamento? Purtroppo dispongo di pochi esercizi con le soluzioni...e soprattutto per quanto riguarda il 5 punto ho parecchi dubbi.
Grazie a tutti!
Risposte
Concludo che la successione tende a 0.
E' corretto, ok.
Grazie mille per la risposta! Spesso anche un semplice "è corretto" da tanta sicurezza in più per affrontare gli esercizi seguenti. Buona giornata 
Solo una cosa: sarebbe meglio dire che la successione tende alla funzione nulla (o identicamente nulla, o alla funzione $f(x)=0$), invece che "tende a zero".
A zero tende un numero, questa è una funzione.
A zero tende un numero, questa è una funzione.
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