Successione di funzione (non-monotona)
Buongiorno a tutti,
ho un esercizio su una successione di funzione che non riesco a sbrogliare del tutto.
Abbiamo una fn:(0,+infinito)->R definita come:
$ f_n(x):={1+sqrt(n)*log(x)}/{4+n^2x} $
e mi chiede di studiare la convergenza uniforme su $ (0,1] $ e su $ [1, oo) $.
Notiamo subito che la funzione limite per la convergenza puntuale è f(x)=0, quindi per la conv. uniforme dobbiamo trovare l'estremo superiore di fn sui due intervalli detti sopra.
Per farlo io procederei studiano la monotonia di fn e trovandone quindi i massimi e i minimi tramite la derivata prima.
Il problema è che tale derivata viene una funzione irrisolvibile, dovrei cioè studiare:
$ sqrt(n)/{xn^2}(4+n^2x)>1+sqrt(n)log(x) $
Così ho provato a procedere in un altro modo ottenendo in effetti un risultato, ma senza riuscire a risolvere del tutto il problema.
Notando che il denominatore è una funzione sempre positiva, il segno di fn(x) dipende dal numeratore, ottenendo che f(x)>0 se: $ x>e^{-sqrt(1/n)} =L(n)$
Notiamo che per n->infinito, L(n)=1 e che la funzione viene da -infinito e va 0 dall'alto.
Possiamo quindi disegnare grossomodo il grafico della nostra fn(x).
Da 0 a L(n) la funzione è crescente e quindi l'estremo superiore è proprio L(n).
Sostituendolo dentro fn e facendo il limite per n->infinito, otteniamo 0 e quindi abbiamo dimostrato l'uniforme continuità in (0,1].
E fin qui dovrebbe essere giusto!
Ora però mi blocco. Dopo L(n) la funzione continua a crescere e deve quindi esistere tra [1,inf) un M(n) massimo a partire da cui questa inizi a scendere per andare a zero.
Ma non ho la più pallida idea di come ricavare analiticamente/graficamente/bho l'espressione di M(n) che è proprio il valore che mi darebbe l'estremo superiore.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie!
ho un esercizio su una successione di funzione che non riesco a sbrogliare del tutto.
Abbiamo una fn:(0,+infinito)->R definita come:
$ f_n(x):={1+sqrt(n)*log(x)}/{4+n^2x} $
e mi chiede di studiare la convergenza uniforme su $ (0,1] $ e su $ [1, oo) $.
Notiamo subito che la funzione limite per la convergenza puntuale è f(x)=0, quindi per la conv. uniforme dobbiamo trovare l'estremo superiore di fn sui due intervalli detti sopra.
Per farlo io procederei studiano la monotonia di fn e trovandone quindi i massimi e i minimi tramite la derivata prima.
Il problema è che tale derivata viene una funzione irrisolvibile, dovrei cioè studiare:
$ sqrt(n)/{xn^2}(4+n^2x)>1+sqrt(n)log(x) $
Così ho provato a procedere in un altro modo ottenendo in effetti un risultato, ma senza riuscire a risolvere del tutto il problema.
Notando che il denominatore è una funzione sempre positiva, il segno di fn(x) dipende dal numeratore, ottenendo che f(x)>0 se: $ x>e^{-sqrt(1/n)} =L(n)$
Notiamo che per n->infinito, L(n)=1 e che la funzione viene da -infinito e va 0 dall'alto.
Possiamo quindi disegnare grossomodo il grafico della nostra fn(x).
Da 0 a L(n) la funzione è crescente e quindi l'estremo superiore è proprio L(n).
Sostituendolo dentro fn e facendo il limite per n->infinito, otteniamo 0 e quindi abbiamo dimostrato l'uniforme continuità in (0,1].
E fin qui dovrebbe essere giusto!
Ora però mi blocco. Dopo L(n) la funzione continua a crescere e deve quindi esistere tra [1,inf) un M(n) massimo a partire da cui questa inizi a scendere per andare a zero.
Ma non ho la più pallida idea di come ricavare analiticamente/graficamente/bho l'espressione di M(n) che è proprio il valore che mi darebbe l'estremo superiore.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie!
Risposte
L'idea dello studio di funzione (rispetto ad $x$) sui due intervalli è buona. Per $x\in(0,1]$ puoi osservare che
$$\lim_{x\to 0^+} f_n(x)=-\infty,\qquad f_n(1)=\frac{\sqrt{n}}{4+n^2}>0,\qquad f_n(x)=0\ \Leftrightarrow\ x=e^{-1/\sqrt{n}}$$
Inoltre, per il numeratore della derivata si può scrivere
$$\frac{\sqrt{n}}{x}(4+n^2 x)-n^2(1+\sqrt{n}\log x)=\frac{1}{x}\left[\sqrt{n}(4+n^2 x)-n^2 x(1+\sqrt{n}\log x)\right]=\frac{1}{x}\left[n^2(\sqrt{n}-1)x+\sqrt{n}(4-n^2 x\log x)\right]$$
Osserva che $\log x <0$ (a causa della scelta di $x$) e che di conseguenza $4-n^2 x\log x>4$: ma allora il numeratore è la somma di termini positivi poiché $x>0$ e $n\ge 1$ (il caso $n=0$ è banale). Ne segue che su tale insieme la funzione è sempre crescente e quindi assume massimo nel punto $(1,f_n(1))$ e visto che $\lim_{n\to+\infty} f_n(1)=0$ puoi concludere che...
Vediamo cosa accade per $x>1$: in tal caso
$$\lim_{x\to +\infty} f_n(x)=0,\qquad f(x)>0,\ \forall x>1$$
D'altra parte $f_n(1)>0$ per cui hai due possibilità: o le funzioni decrescono ad un asintoto orizzontale ($y=0$) oppure c'è un massimo assoluto e poi la decrescita fino all'asintoto. Quale delle due? Per capirlo, andiamoci a studiare, nuovamente il numeratore della derivata prima: poniamo
$$g_n(x)=n^2(\sqrt{n}-1-\sqrt{n}\log x)x+4\sqrt{n}$$
(osserva che gli altri termini $x$ e $(4+n^2 x)^2$ possono essere trascurati, nella derivata, essendo sempre positivi). Ora, per la funzione $g_n(x)$ si ha
$$\lim_{x\to+\infty}g_n(x)=-\infty,\qquad g_n(1)=4\sqrt{n}+n^2(\sqrt{n}-1)>0,\qquad g_n'(x)=-n^2(1+\sqrt{n}\log x)<0$$
Allora tale funzione risulta sempre decrescente e quindi, spostandosi da un valore positivo ad uno negativo, ammette una radice $\alpha\in[1,+\infty)$ per cui risulta pure $g_n(x)>0\ \Leftrightarrow\ 1< x<\alpha$. Pertanto, visto che la $g_n$ determina il segno della derivata prima di $f_n$, puoi concludere che il punto $(\alpha,f_n(\alpha))$ è il massimo assoluto. Ora ci chiediamo, come calcolare $f_n(\alpha)$? Osserva che essendo $g_n(\alpha)=0$ possiamo scrivere
$$\log\alpha=\frac{4\sqrt{n}+n^2\alpha(\sqrt{n}-1)}{\alpha\sqrt{n}}$$
da cui, sostituendo
$$f_n(\alpha)=\frac{1+\frac{4\sqrt{n}+n^2\alpha(\sqrt{n}-1)}{\alpha}}{4+n^2\alpha}=\frac{\alpha+4\sqrt{n}+n^2\alpha(\sqrt{n}-1)}{\alpha(4+n^2\alpha)}\sim\frac{n^2\sqrt{n}\alpha}{n^2\alpha^2}=\frac{\sqrt{n}}{\alpha}$$
la quale ha limite infinito per $n\to+\infty$. Puoi dedurne allora che...
$$\lim_{x\to 0^+} f_n(x)=-\infty,\qquad f_n(1)=\frac{\sqrt{n}}{4+n^2}>0,\qquad f_n(x)=0\ \Leftrightarrow\ x=e^{-1/\sqrt{n}}$$
Inoltre, per il numeratore della derivata si può scrivere
$$\frac{\sqrt{n}}{x}(4+n^2 x)-n^2(1+\sqrt{n}\log x)=\frac{1}{x}\left[\sqrt{n}(4+n^2 x)-n^2 x(1+\sqrt{n}\log x)\right]=\frac{1}{x}\left[n^2(\sqrt{n}-1)x+\sqrt{n}(4-n^2 x\log x)\right]$$
Osserva che $\log x <0$ (a causa della scelta di $x$) e che di conseguenza $4-n^2 x\log x>4$: ma allora il numeratore è la somma di termini positivi poiché $x>0$ e $n\ge 1$ (il caso $n=0$ è banale). Ne segue che su tale insieme la funzione è sempre crescente e quindi assume massimo nel punto $(1,f_n(1))$ e visto che $\lim_{n\to+\infty} f_n(1)=0$ puoi concludere che...
Vediamo cosa accade per $x>1$: in tal caso
$$\lim_{x\to +\infty} f_n(x)=0,\qquad f(x)>0,\ \forall x>1$$
D'altra parte $f_n(1)>0$ per cui hai due possibilità: o le funzioni decrescono ad un asintoto orizzontale ($y=0$) oppure c'è un massimo assoluto e poi la decrescita fino all'asintoto. Quale delle due? Per capirlo, andiamoci a studiare, nuovamente il numeratore della derivata prima: poniamo
$$g_n(x)=n^2(\sqrt{n}-1-\sqrt{n}\log x)x+4\sqrt{n}$$
(osserva che gli altri termini $x$ e $(4+n^2 x)^2$ possono essere trascurati, nella derivata, essendo sempre positivi). Ora, per la funzione $g_n(x)$ si ha
$$\lim_{x\to+\infty}g_n(x)=-\infty,\qquad g_n(1)=4\sqrt{n}+n^2(\sqrt{n}-1)>0,\qquad g_n'(x)=-n^2(1+\sqrt{n}\log x)<0$$
Allora tale funzione risulta sempre decrescente e quindi, spostandosi da un valore positivo ad uno negativo, ammette una radice $\alpha\in[1,+\infty)$ per cui risulta pure $g_n(x)>0\ \Leftrightarrow\ 1< x<\alpha$. Pertanto, visto che la $g_n$ determina il segno della derivata prima di $f_n$, puoi concludere che il punto $(\alpha,f_n(\alpha))$ è il massimo assoluto. Ora ci chiediamo, come calcolare $f_n(\alpha)$? Osserva che essendo $g_n(\alpha)=0$ possiamo scrivere
$$\log\alpha=\frac{4\sqrt{n}+n^2\alpha(\sqrt{n}-1)}{\alpha\sqrt{n}}$$
da cui, sostituendo
$$f_n(\alpha)=\frac{1+\frac{4\sqrt{n}+n^2\alpha(\sqrt{n}-1)}{\alpha}}{4+n^2\alpha}=\frac{\alpha+4\sqrt{n}+n^2\alpha(\sqrt{n}-1)}{\alpha(4+n^2\alpha)}\sim\frac{n^2\sqrt{n}\alpha}{n^2\alpha^2}=\frac{\sqrt{n}}{\alpha}$$
la quale ha limite infinito per $n\to+\infty$. Puoi dedurne allora che...
Il problema è che (come molti altri studenti!) cerchi di applicare un metodo meccanicamente, prima di aver guardato bene cos'hai sotto gli occhi.
La convergenza della successione non può essere uniforme in \(]0,\infty[\). Infatti, per evidenti motivi, si ha per ogni \(n>0\):
\[
M_n:=\sup_{x>0} \left| f_n(x)-f(x)\right| = \lim_{x\to 0^+} \left| \frac{1+\sqrt{n}\ \ln x}{4+n^2x}\right| = +\infty
\]
quindi col cavolo che \(M_n\) è infinitesima!
La convergenza della successione non può essere uniforme in \(]0,\infty[\). Infatti, per evidenti motivi, si ha per ogni \(n>0\):
\[
M_n:=\sup_{x>0} \left| f_n(x)-f(x)\right| = \lim_{x\to 0^+} \left| \frac{1+\sqrt{n}\ \ln x}{4+n^2x}\right| = +\infty
\]
quindi col cavolo che \(M_n\) è infinitesima!
Ciao ciampax.
Nella pratica c'ero quasi arrivato (per sbaglio!), mentre concettualmente non ho ancora capito una cosa che credo sia importante.
Da tutte le nostre considerazioni, abbiamo ricavato che deve esistere $alpha$ tra $[1, oo)$ e che sia un massimo. E questo è chiaro. Poi, essendo troppo difficile scrivere $alpha$ solo in funzione di n (e qui e dove mi ero bloccato io) ci siamo accontentati di log($alpha$)=Roba($alpha$,n) e anche questo va bene ora che lo vedo svolto e d'ora in poi ci proverò anchio.
Detto questo, ho capito come farlo nel modo giusto, ma non ho ancora capito perchè il modo che dico adesso è sbagliato.
Torniamo nel caso (0,1] e invece di fare considerazioni sulla monotonia come abbiamo fatto sopra, faccio la derivata prima e trovo appunto che la funzione cresce e decresce secondo il segno di
$ g_n(x)=n^2(\sqrt{n}-1-\sqrt{n}\log x)x+4\sqrt{n} $
Ora, noi abbiamo dimostrato prima che $g_n(x)$, qualunque esso sia, si trova in $[1,oo)$, ma per come lo sto facendo adesso la cosa non è così ovvia, (o sì?) e per quanto ne sappiamo potrebbe stare in (0,1].
Dunque, come prima io isolo il log(alpha) con $alpha$ stavolta in (0,1], lo sostituisco dentro fn, ottengo il limite infinito e concludo (sbagliando) che non c'è uniforme continuità in (0,1].
Dov'è l'errore?
Come avrei dovuto fare a capire che la derivata può risultarmi utile solo nel secondo caso, mentre nel primo caso devo trovare un altro modo per risolvere l'esercizio?
Lo dico perchè io principalmente seguo sempre questo metodo: derivo, trovo il massimo e sostituisco. In questo caso non l'ho fatto perchè mi sono bloccato con l'algebra, ma altrimenti avrei sbagliato senza neanche accorgermene.
Non so se si è capito il dubbio!
Grazie!
Nella pratica c'ero quasi arrivato (per sbaglio!), mentre concettualmente non ho ancora capito una cosa che credo sia importante.
Da tutte le nostre considerazioni, abbiamo ricavato che deve esistere $alpha$ tra $[1, oo)$ e che sia un massimo. E questo è chiaro. Poi, essendo troppo difficile scrivere $alpha$ solo in funzione di n (e qui e dove mi ero bloccato io) ci siamo accontentati di log($alpha$)=Roba($alpha$,n) e anche questo va bene ora che lo vedo svolto e d'ora in poi ci proverò anchio.
Detto questo, ho capito come farlo nel modo giusto, ma non ho ancora capito perchè il modo che dico adesso è sbagliato.
Torniamo nel caso (0,1] e invece di fare considerazioni sulla monotonia come abbiamo fatto sopra, faccio la derivata prima e trovo appunto che la funzione cresce e decresce secondo il segno di
$ g_n(x)=n^2(\sqrt{n}-1-\sqrt{n}\log x)x+4\sqrt{n} $
Ora, noi abbiamo dimostrato prima che $g_n(x)$, qualunque esso sia, si trova in $[1,oo)$, ma per come lo sto facendo adesso la cosa non è così ovvia, (o sì?) e per quanto ne sappiamo potrebbe stare in (0,1].
Dunque, come prima io isolo il log(alpha) con $alpha$ stavolta in (0,1], lo sostituisco dentro fn, ottengo il limite infinito e concludo (sbagliando) che non c'è uniforme continuità in (0,1].
Dov'è l'errore?
Come avrei dovuto fare a capire che la derivata può risultarmi utile solo nel secondo caso, mentre nel primo caso devo trovare un altro modo per risolvere l'esercizio?
Lo dico perchè io principalmente seguo sempre questo metodo: derivo, trovo il massimo e sostituisco. In questo caso non l'ho fatto perchè mi sono bloccato con l'algebra, ma altrimenti avrei sbagliato senza neanche accorgermene.
Non so se si è capito il dubbio!
Grazie!
Ci vuole occhio e, come ti ha fatto vedere anche Gugo con la sua osservazione, non pensare che risolvere un esercizio sia una semplice applicazione "meccanica" di due formulette scritte in croce. Un esercizio è ragionamento (mescolato con calcoli), dove i secondi sono solo lo strumento che usa il primo per fornire la risposta.
Ciampax, quindi in effetti per evitare di sbagliare invece che "derivo->massimo->sostituisco->limite", avrei ad esempio in questo caso dovuto controllare se il massimo ottenuto sarebbe potuto essere nell'intervallo considerato oppure no. Quindi nel farlo sarei finito a "dover" fare necessariamente il ragionamento che poi ho finito per fare per sbaglio.
Non mi stupisce, ma un po' ho sperato ci fosse un modo analitico per capire quando la derivata fosse utile e quando no.
Gugo, lo so, tendo a metodizzare tutto ed è il motivo per cui poi sbaglio nei casi mai visti.
Comunque l'esercizio non diceva (0,inf) che in effetti sarebbe stato più semplice, ma divideva proprio (0,1) e (1,inf).
Grazie a entrambi,
ciao!
Non mi stupisce, ma un po' ho sperato ci fosse un modo analitico per capire quando la derivata fosse utile e quando no.
Gugo, lo so, tendo a metodizzare tutto ed è il motivo per cui poi sbaglio nei casi mai visti.
Comunque l'esercizio non diceva (0,inf) che in effetti sarebbe stato più semplice, ma divideva proprio (0,1) e (1,inf).
Grazie a entrambi,
ciao!
Beh, allora è evidente che in \(]0,1[\) non puoi avere convergenza uniforme, perché ci sono problemi intorno a \(0\).
Infatti, il problema in \(]0,\infty[\) qual è?
Beh, è che \(x\) può avvicinarsi a \(0\) e ciò ti frega la possibilità di convergenza uniforme.
Proprio perché lo stesso problema si presenta pure quando ti restringi a \(]0,1[\) perdi la convergenza uniforme.
Allora, come nell'altro esercizio, viene naturale chiedersi cosa succede alla successione se impedisci alla variabile quando le impedisci di "avvicinarsi a \(0\)", ossia quando restringi i valori di \(x\) ad un insieme del tipo \([a,\infty[\) con \(a>0\).
Come già osservato altrove, per stabilire cosa succede devi andare a determinare (più o meno esplicitamente) i numeri:
\[
M_n([a,\infty[) = \sup_{x\geq a} \left| f_n(x)-f(x)\right| = \sup_{x\geq a} \left| f_n(x)\right|\; .. \sup_{x\geq a} \left| \frac{1+\sqrt{n}\ \ln x}{4+n^2x}\right|\; .
\]
Per fare ciò, si può ancora procedere come indicato nell'altro post (cioé facendo un attento studio della monotonia di \(f_n\)), solo che bisogna fare le cose con calma, perché i conti sono più complicati.
Ora, \(f_n\) è una funzione continua in \([a,\infty[\) ed è certamente limitata, poiché è:
\[
\lim_{x\to \infty} f_n(x) =0\; ;
\]
ciò implica che \(|f_n|\) è limitata in \([a,\infty[\)), ossia che \(M_n([a,\infty[)\) esiste finito per ogni \(n\).
Inoltre, hai:
\[
\begin{split}
f_n^\prime (x) &= \frac{1}{(4+n^2x)^2}\ \left( \frac{\sqrt{n}}{x}\ (4+n^2x) - (1+\sqrt{n}\ \ln x)\ n^2\right) \\
&= \frac{\sqrt{n}}{(4+n^2x)^2}\ \left( \frac{4}{x} +n^2 - n\sqrt{n} -n^2\ \ln x\right)
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
f_n^\prime (x) \geq 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \frac{4}{x} +n^2 - n\sqrt{n} -n^2\ \ln x\geq 0 \\
&\Leftrightarrow \quad \underbrace{\frac{4}{n^2}\ \frac{1}{x} + 1 -\frac{1}{\sqrt{n}}}_{\color{maroon}{=:\phi_n(x)}} \geq \underbrace{\ln x}_{\color{maroon}{=:\psi(x)}}\; .
\end{split}
\]
Le funzioni ausiliarie \(\phi_n(x)=\frac{4}{n^2}\ \frac{1}{x} + 1 -\frac{1}{\sqrt{n}}\) e \(\psi (x)=\ln x\) sono strettamente monotone, la prima decrescente, la seconda crescente, perciò l'equazione \(\phi_n(x)=\psi(x)\) ha eventualmente un'unica soluzione \(x_n>0\); dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \infty} \phi_n(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{n}}\\
\lim_{x\to \infty} \psi (x) &= \infty
\end{split}
\]
per \(x\) "grandi" si ha \(\phi_n(x)<\psi (x)\) e perciò è chiaro che le soluzioni della disequazione sono EVENTUALMENTE tutti e soli i valori \(x\leq x_n\) che appartengono ad \([a,\infty[\); in altre parole:
\[
\phi_n(x)\geq \psi (x)\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a\leq x\leq x_n &\text{, se } x_n\geq a\\
\text{mai} &\text{, se } x_n
Per precisione, proviamo a stimare dove cade \(x_n\).
Facendo due conti, si vede che:
\[
\phi_n(e) = \frac{4}{en^2} + 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}< 1 =\psi (e)
\]
e che:
\[
\phi_n(e^{1-1/\sqrt{n}}) = \frac{4}{e^{1-1/\sqrt{n}} n^2} + 1 -\frac{1}{\sqrt{n}} > 1 -\frac{1}{\sqrt{n}} = \psi (e^{1-1/\sqrt{n}})\; ;
\]
pertanto:
\[
\tag{S}
e^{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}
per il teorema degli zeri.
Da quanto appena detto segue che, se \(a\geq e\), allora tutte le \(f_n(x)\) sono positive e strettamente decrescenti in \([a,\infty[\); dunque:
\[
M_n([a,\infty[) = f_n(a) = \frac{1+\sqrt{n} \ln a}{4+n^2a}
\]
quindi \(\lim_n M_n([a,\infty[) =0\) e la convergenza è uniforme in \([a,\infty[\).
Rimane, infine, da analizzare cosa accade quando \(0
\[
\frac{4}{x_n} +n^2 - n\sqrt{n} -n^2\ \ln x_n = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \ln x_n = \frac{4}{n^2\ x_n} +1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\; ,
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\max_{x\geq a} f_n(x) &=f_n(x_n)\\
&= \frac{1+\sqrt{n}\ \ln x_n}{4 + n^2\ x_n}\\
&= \frac{1+\sqrt{n}\ \left( \frac{4}{n^2\ x_n} +1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{4 + n^2\ x_n} \\
&= \frac{1}{4+n^2\ x_n}\ \left( \frac{4}{n\sqrt{n}\ x_n} + \sqrt{n}\right)
\end{split}
\]
e perciò il massimo assoluto di \(f_n\) è positivo.
D'altro canto, la funzione \(f_n\) è crescente prima di \(x_n\), dunque essa prende un minimo relativo in \(a\) che vale:
\[
f_n (a) = \frac{1+\sqrt{n}\ \ln a}{4+n^2 a}\; ;
\]
visto che \(\lim_{x\to +\infty} f_n(x) =0\), tale minimo è il minimo assoluto solo se \( f_n(a)\leq 0\), cioé se \(a\leq e^{-1/\sqrt{n}}\), altrimenti esso è un minimo relativo.
Mettendo insieme tali informazioni ricaviamo che:
\[
\begin{split}
M_n([a,\infty[) &:= \sup_{x\geq a} |f_n(x)|\\
&= \begin{cases} f_n(x_n) & \text{, se } a> e^{-1/\sqrt{n}}\\
\max \{ f_n(x_n) , -f_n(a)\} &\text{, se } a\leq e^{-1/\sqrt{n}}\; ;
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi il comportamento al limite di \(M_n([a,\infty[)\) dipende essenzialmente dal comportamento al limite di \(f_n(x_n)\) ed \(f_n(a)\).
Per le (S) e per il teorema dei carabinieri si ha:
\[
\lim_n x_n = e
\]
e da ciò trai:
\[
\begin{split}
\lim_n f_n(x_n) &= \lim_n \frac{1}{4+n^2\ x_n}\ \left( \frac{4}{n\sqrt{n}\ x_n} + \sqrt{n}\right) \\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n}}{n^2\ e} \\
&= 0\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte è:
\[
\lim_n f_n(a) = \lim_n \frac{1+\sqrt{n}\ \ln a}{4+n^2 a} =0\; ;
\]
quindi si ha necessariamente:
\[
\lim_n M_n([a,\infty[) =0
\]
e perciò la convergenza è uniforme in \([a,\infty[\) pure per ogni \(0
In particolare, la successione di funzioni converge uniformemente in \([1,\infty[\).
Infatti, il problema in \(]0,\infty[\) qual è?
Beh, è che \(x\) può avvicinarsi a \(0\) e ciò ti frega la possibilità di convergenza uniforme.
Proprio perché lo stesso problema si presenta pure quando ti restringi a \(]0,1[\) perdi la convergenza uniforme.
Allora, come nell'altro esercizio, viene naturale chiedersi cosa succede alla successione se impedisci alla variabile quando le impedisci di "avvicinarsi a \(0\)", ossia quando restringi i valori di \(x\) ad un insieme del tipo \([a,\infty[\) con \(a>0\).
Come già osservato altrove, per stabilire cosa succede devi andare a determinare (più o meno esplicitamente) i numeri:
\[
M_n([a,\infty[) = \sup_{x\geq a} \left| f_n(x)-f(x)\right| = \sup_{x\geq a} \left| f_n(x)\right|\; .. \sup_{x\geq a} \left| \frac{1+\sqrt{n}\ \ln x}{4+n^2x}\right|\; .
\]
Per fare ciò, si può ancora procedere come indicato nell'altro post (cioé facendo un attento studio della monotonia di \(f_n\)), solo che bisogna fare le cose con calma, perché i conti sono più complicati.
Ora, \(f_n\) è una funzione continua in \([a,\infty[\) ed è certamente limitata, poiché è:
\[
\lim_{x\to \infty} f_n(x) =0\; ;
\]
ciò implica che \(|f_n|\) è limitata in \([a,\infty[\)), ossia che \(M_n([a,\infty[)\) esiste finito per ogni \(n\).
Inoltre, hai:
\[
\begin{split}
f_n^\prime (x) &= \frac{1}{(4+n^2x)^2}\ \left( \frac{\sqrt{n}}{x}\ (4+n^2x) - (1+\sqrt{n}\ \ln x)\ n^2\right) \\
&= \frac{\sqrt{n}}{(4+n^2x)^2}\ \left( \frac{4}{x} +n^2 - n\sqrt{n} -n^2\ \ln x\right)
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
f_n^\prime (x) \geq 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \frac{4}{x} +n^2 - n\sqrt{n} -n^2\ \ln x\geq 0 \\
&\Leftrightarrow \quad \underbrace{\frac{4}{n^2}\ \frac{1}{x} + 1 -\frac{1}{\sqrt{n}}}_{\color{maroon}{=:\phi_n(x)}} \geq \underbrace{\ln x}_{\color{maroon}{=:\psi(x)}}\; .
\end{split}
\]
Le funzioni ausiliarie \(\phi_n(x)=\frac{4}{n^2}\ \frac{1}{x} + 1 -\frac{1}{\sqrt{n}}\) e \(\psi (x)=\ln x\) sono strettamente monotone, la prima decrescente, la seconda crescente, perciò l'equazione \(\phi_n(x)=\psi(x)\) ha eventualmente un'unica soluzione \(x_n>0\); dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \infty} \phi_n(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{n}}\\
\lim_{x\to \infty} \psi (x) &= \infty
\end{split}
\]
per \(x\) "grandi" si ha \(\phi_n(x)<\psi (x)\) e perciò è chiaro che le soluzioni della disequazione sono EVENTUALMENTE tutti e soli i valori \(x\leq x_n\) che appartengono ad \([a,\infty[\); in altre parole:
\[
\phi_n(x)\geq \psi (x)\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a\leq x\leq x_n &\text{, se } x_n\geq a\\
\text{mai} &\text{, se } x_n
Per precisione, proviamo a stimare dove cade \(x_n\).
Facendo due conti, si vede che:
\[
\phi_n(e) = \frac{4}{en^2} + 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}< 1 =\psi (e)
\]
e che:
\[
\phi_n(e^{1-1/\sqrt{n}}) = \frac{4}{e^{1-1/\sqrt{n}} n^2} + 1 -\frac{1}{\sqrt{n}} > 1 -\frac{1}{\sqrt{n}} = \psi (e^{1-1/\sqrt{n}})\; ;
\]
pertanto:
\[
\tag{S}
e^{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}
per il teorema degli zeri.
Da quanto appena detto segue che, se \(a\geq e\), allora tutte le \(f_n(x)\) sono positive e strettamente decrescenti in \([a,\infty[\); dunque:
\[
M_n([a,\infty[) = f_n(a) = \frac{1+\sqrt{n} \ln a}{4+n^2a}
\]
quindi \(\lim_n M_n([a,\infty[) =0\) e la convergenza è uniforme in \([a,\infty[\).
Rimane, infine, da analizzare cosa accade quando \(0
\[
\frac{4}{x_n} +n^2 - n\sqrt{n} -n^2\ \ln x_n = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \ln x_n = \frac{4}{n^2\ x_n} +1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\; ,
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\max_{x\geq a} f_n(x) &=f_n(x_n)\\
&= \frac{1+\sqrt{n}\ \ln x_n}{4 + n^2\ x_n}\\
&= \frac{1+\sqrt{n}\ \left( \frac{4}{n^2\ x_n} +1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{4 + n^2\ x_n} \\
&= \frac{1}{4+n^2\ x_n}\ \left( \frac{4}{n\sqrt{n}\ x_n} + \sqrt{n}\right)
\end{split}
\]
e perciò il massimo assoluto di \(f_n\) è positivo.
D'altro canto, la funzione \(f_n\) è crescente prima di \(x_n\), dunque essa prende un minimo relativo in \(a\) che vale:
\[
f_n (a) = \frac{1+\sqrt{n}\ \ln a}{4+n^2 a}\; ;
\]
visto che \(\lim_{x\to +\infty} f_n(x) =0\), tale minimo è il minimo assoluto solo se \( f_n(a)\leq 0\), cioé se \(a\leq e^{-1/\sqrt{n}}\), altrimenti esso è un minimo relativo.
Mettendo insieme tali informazioni ricaviamo che:
\[
\begin{split}
M_n([a,\infty[) &:= \sup_{x\geq a} |f_n(x)|\\
&= \begin{cases} f_n(x_n) & \text{, se } a> e^{-1/\sqrt{n}}\\
\max \{ f_n(x_n) , -f_n(a)\} &\text{, se } a\leq e^{-1/\sqrt{n}}\; ;
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi il comportamento al limite di \(M_n([a,\infty[)\) dipende essenzialmente dal comportamento al limite di \(f_n(x_n)\) ed \(f_n(a)\).
Per le (S) e per il teorema dei carabinieri si ha:
\[
\lim_n x_n = e
\]
e da ciò trai:
\[
\begin{split}
\lim_n f_n(x_n) &= \lim_n \frac{1}{4+n^2\ x_n}\ \left( \frac{4}{n\sqrt{n}\ x_n} + \sqrt{n}\right) \\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n}}{n^2\ e} \\
&= 0\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte è:
\[
\lim_n f_n(a) = \lim_n \frac{1+\sqrt{n}\ \ln a}{4+n^2 a} =0\; ;
\]
quindi si ha necessariamente:
\[
\lim_n M_n([a,\infty[) =0
\]
e perciò la convergenza è uniforme in \([a,\infty[\) pure per ogni \(0
In particolare, la successione di funzioni converge uniformemente in \([1,\infty[\).
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