Successione di funzione, convergenza

[rettile56]

Bonjour...
l'esercizio è trovare il limite puntuale di fn:
$ f_n(x)=x /(3+x^(2n))^(1/n) $ per x tra [0,inf)

e studiarne la convergenza uniforme in [0,1] e [1,inf)

Il limite puntuale cambia:
se x=0-->0
se x!=0 -> 1/x

Ora, senza mettersi a fare calcoli possiamo di già affermare che in [0,1] non può esserci conv. uniforme dal momento che la funzione limite è discontinua nel punto 0. Giusto?
Per l'altro pezzo:
notiamo che (fn-f) tende a 0 per x->inf, mentre per x->1 tende ad una quantità che all'aumentare di n si sposta verso sinistra, (cioè per n->inf tende a 0).
Quindi esiste un massimo compreso tra 1 e inf.
La derivata I non è esprimibile in forma esplicita, ma se la facciamo possiamo scrivere il numeratore in modo che per n->inf, questo vada a 0.
Ne deduciamo quindi che il nostro massimo tende a 0 e dunque che la funzione in [1,inf) è definitivamente monotona decrescente.Da questo deduciamo che il sup si ha in 1.
Ora, notiamo che il limite per n->inf di [fn(1)-f(1)] tende a 0 e concludiamo che in [1,inf) c'è la convergenza uniforme.

È corretto?
Grazie!

[gugo82]

Sicuro del limite?
Ad esempio, cosa succede se prendi \(x=1/2\)?

[rettile56]

ma no!! #*@!%#!... distrazione maledetta!!

fa x per x compreso da (0,1), no?
il limite puntuale è sbagliato, ma la considerazione che la conv. non possa essere uniforme su qualunque intervallo che includa lo 0 è giusta, no?

[gugo82]

Beh, ni...

Essa si fondava sul fatto che in \(0\) il limite non fosse continuo, ma il limite puntuale era sbagliato.
Quello giusto, i.e.:
\[
f(x) := \begin{cases} x &\text{, se } 0\leq x\leq 1 \\ \frac{1}{x} &\text{, se } x\geq 1\; ,\end{cases}
\]
è continuissimo in \([0,\infty[\).

Ti tocca rifare i conti.