Successione di funzione

[avmarshall]

Salve a tutti. Ho qualche dubbio riguardo quisto esercizio sulla convergenza puntuale ed uniforme di questa successione di funzione.
$ log ((nx+1)/(nx^2+1)) $ in $ [0,oo ] $
Ho calcolato la funzione limite e i risultati che ho ottenuto sono
0 per x=0
log(1/x) per x>0
Così ho scoperto che converge puntualmente nell intervallo dato.
Provo la convergenza uniforme calcolandomi il sup in questo intervallo e mi viene
Sup $ log((nx^2+x)/(nx^2+1)) $
Dunque calcolo il sup facendo i limiti ai bordi dell intervallo di def e calcolando la derivata(la derivata mi viene abbastanza brutta).
Setutto va bene trovo un valore del sup e devo verificare che il suo limite sia zero per n tendente a infinito
Giusto?si svolgono così questi esercizi?

[Ziben]

Ciao,
in $[0,+oo)$ la successione $log((nx+1)/(nx^2+1))$ è una successione di funzioni continue. La funzione a cui converge puntualmente è:
$f(x)= { ( 0 ),( log(1/x) ):} {( x=0),( x>0):} $
Poichè $lim_(x->0^+)log(1/x)=+oo$
la $f(x)$ non è continua e la successione di partenza non può convergere uniformemente a una funzione non continua.

[avmarshall]

ok...te ne sei uscito molto elegantemente osservando che è discontinua in 0 e quindi giustamente non può convergere uniformemente!grazie.
Comunque il mio ragionamento in generale è corretto?(intendo dopo aver verificato la continuità)

[Ziben]

Si scusa, mi ero scordato di rispondere alla tua domanda finale. Devi vedere se tende a $0$ la successione
sup$|f_n(x)-f(x)|$ con $f(x)$ limite puntuale della successione di funzioni $f_n(x)$

[avmarshall]

ok...è quello che faccio in tutti gli esercizi.grazie comunque per le risposte tempestive! a presto!