Successione di funzione
sto preparando l'esame di anali 2 e sono arrivato alle successioni di funzioni che a quanto ho capito si svolgono sommariamente in questo modo:
si cerca la convergenza puntale fissando la x e facendo il $lim_(n->oo) fn(x)$
Trovato questo limite si passa al sup sul dominio della f(x) trovata di $|fn(x)- f(x)|$ e si considera ancora il limite di questo sup per $n->oo$ se non converge sul dominio si cerca di restringere l'intervallo cercando la convergenza!!!
Su esercizi semplici non ho trovato difficoltà, ora però mi sono trovato di fronte questa successione di funzini:
$fn(x)=ln^2(1+x^n)-ln|x|ln(1+x^(n^2))$
Ora dovrei fare il limite per $n->oo$ ma come si fa.....!?!?!?!? Ad occhio(molto occhio) avrei detto che va a $-oo$ ma questo non mi torna gran che visto che devo studiare la convergenza....... Datemi un a mano vi prego...!!!!!
si cerca la convergenza puntale fissando la x e facendo il $lim_(n->oo) fn(x)$
Trovato questo limite si passa al sup sul dominio della f(x) trovata di $|fn(x)- f(x)|$ e si considera ancora il limite di questo sup per $n->oo$ se non converge sul dominio si cerca di restringere l'intervallo cercando la convergenza!!!
Su esercizi semplici non ho trovato difficoltà, ora però mi sono trovato di fronte questa successione di funzini:
$fn(x)=ln^2(1+x^n)-ln|x|ln(1+x^(n^2))$
Ora dovrei fare il limite per $n->oo$ ma come si fa.....!?!?!?!? Ad occhio(molto occhio) avrei detto che va a $-oo$ ma questo non mi torna gran che visto che devo studiare la convergenza....... Datemi un a mano vi prego...!!!!!
Risposte
Ok il procedimento generale.
Nel caso specifico devi essenzialmente evitare di spaventarti, nonostante quell'espressione abbia un aspetto terribile devi fare sempre la stessa cosa. Inizia a stabilire per quali $x$ sono definite tutte le $f_n(x)$. Direi che non ha molto senso considerare $x<=-1$, no? Poi distingui i vari casi. Che succede se $|x|<1$? E se $x=1$? E se $x>1$? ...
Nel caso specifico devi essenzialmente evitare di spaventarti, nonostante quell'espressione abbia un aspetto terribile devi fare sempre la stessa cosa. Inizia a stabilire per quali $x$ sono definite tutte le $f_n(x)$. Direi che non ha molto senso considerare $x<=-1$, no? Poi distingui i vari casi. Che succede se $|x|<1$? E se $x=1$? E se $x>1$? ...
intanto grazie della risposta.....
Comunque procedendo come giustamente dici tu, cioè escludento gli $ x<=-1 $, allora direi che:
per $|x|<1$ converge punt a 0, per x =1 converge punt a $ln^2(2)$
ora per x>1 ho provato a procedere così..... ank se non sono covintissimo di poterlo fare:
$ln^2 (1+x^n)=ln()*ln() $ (ho tralasciato gli argomenti per velocizzare la scrittura
) quindi lo posso anche riscrivere come $ln()^(ln())$, faccio la stessa cosa per il secondo addendo e mi viene $ln(1+x^(n^2))^(ln|x|)$ poi utilizzando le prop dei log viene fuori: $ln((1+x^n)^(ln(1+x^n))/(1+x^(n^2))^(ln|x|))$ e passando al limite sopra ho un $oo^oo$ sotto ho invece una potenza di inf quindi concludo che il lim è infinito, quindi non convergerebbe neanche per x>1...... 
Può essere giusto oppure è completamente sbagliato...!?!??
Comunque procedendo come giustamente dici tu, cioè escludento gli $ x<=-1 $, allora direi che:
per $|x|<1$ converge punt a 0, per x =1 converge punt a $ln^2(2)$
ora per x>1 ho provato a procedere così..... ank se non sono covintissimo di poterlo fare:
$ln^2 (1+x^n)=ln()*ln() $ (ho tralasciato gli argomenti per velocizzare la scrittura
) quindi lo posso anche riscrivere come $ln()^(ln())$, faccio la stessa cosa per il secondo addendo e mi viene $ln(1+x^(n^2))^(ln|x|)$ poi utilizzando le prop dei log viene fuori: $ln((1+x^n)^(ln(1+x^n))/(1+x^(n^2))^(ln|x|))$ e passando al limite sopra ho un $oo^oo$ sotto ho invece una potenza di inf quindi concludo che il lim è infinito, quindi non convergerebbe neanche per x>1...... Può essere giusto oppure è completamente sbagliato...!?!??
Ok per $|x|<1, x=1$. Non ho capito invece che cosa hai fatto per $x>1$. Fino a
$log(1+x^n)^{log(1+x^n)}-log(1+x^{n^2})^{log(x)}=log[frac{(1+x^n)^{log(1+x^n)}}{(1+x^{2n})^(log(x))}]$
mi ritrovo; ma dopo come concludi? Si, va bene analizzare $frac{(1+x^n)^{log(1+x^n)}}{(1+x^{2n})^(log(x))}$ usando confronti asintotici ma lo devi fare in modo più preciso, non è immediato.
$log(1+x^n)^{log(1+x^n)}-log(1+x^{n^2})^{log(x)}=log[frac{(1+x^n)^{log(1+x^n)}}{(1+x^{2n})^(log(x))}]$
mi ritrovo; ma dopo come concludi? Si, va bene analizzare $frac{(1+x^n)^{log(1+x^n)}}{(1+x^{2n})^(log(x))}$ usando confronti asintotici ma lo devi fare in modo più preciso, non è immediato.
mmm...io ho soltanto notato che sopra ho $oo^oo$ mentre sotto ho $oo^ln(x)$ quindi avrei concluso che fa $oo$......non va bene...!?!!?
No, non va bene, troppo brutale. Cosa significa confrontare $infty^infty$ e $infty^log(x)$... Secondo questo ragionamento, allora, dovrebbe essere
$lim_{n \to infty}frac{(log(n))^n}{(n!)^(log(x))}=+infty$,
ma è falso: infatti questo limite è uguale a $0$ per ogni $x>1$.
Devi fare una analisi più accurata.
$lim_{n \to infty}frac{(log(n))^n}{(n!)^(log(x))}=+infty$,
ma è falso: infatti questo limite è uguale a $0$ per ogni $x>1$.
Devi fare una analisi più accurata.
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