Successione di funzione

[m_2000]

Si consideri la funzione: $f_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)\; \ \x in RR$ studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Convergenza puntuale:
Le funzioni sono dispari, quindi basta studiarle da $x>=0$.
$lim_{n->+\infty}(nx)/(1+n^2x^2)=0$, quindi $f_n$ converge puntualmente ad $f=0$ su tutto $R^+$
Convergenza uniforme:
studio la funzione $\SUP\_{x>=0}{|(nx)/(1+n^2x^2)-0|}$ ovvero la massima distanza tra$ f=0$ e $f_n$.
Individuo il sup derivando la funzione e cercando il punto x in cui assume tale valore...
$f'(x)=(n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2>=0$ la soluzione è (considerato solo R^+): $0<=x<=1/n$
Quindi il valore in cui la distanza tra la f_n ed f è massimo è nel punto $x=1/n$.
$lim_{n->+\infty}(n*1/n)/(1+n^2*(1/n^2))=1/2!=0$ e quindi su $R^+$ non ho convergenza uniforme.
Allora posso considerare alcune restrizioni del dominio. Preso ad esempio un intervallo $ [a,+infty)$ dove $a>1/n$, allora si ha che $\SUP\_{x>=0}{|(nx)/(1+n^2x^2)-0|}=na/(1+n^2a^2)$ il cui limite tende chiaramente a 0. Quindi in intervalli di questo tipo esiste la convergenza uniforme.
Volevo sapere se posso anche considerare intervalli a "sinistra" di $1/n$, cioè intervalli del tipo $[0,a]$ con $a<1/n$.
Mi verrebbe da dire che anche qui ci sia convergenza uniforme ma non ne sono sicuro...

[gugo82]

Che vuol dire $a > 1/n$?
La $n$ è una variabile, mentre $a$ è fisso.

[m_2000]

Ciao gugo!
Vero che $n$ è variabile ed $a$ è fisso, però perchè $lim_{n->\infty}1/n=0$ allora sicuramente $EE \k\ tc\ AAn>\k\ :\ 1/n

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[gugo82]

Scusa, volevo scrivere $<$...