Successione di Cauchy non convergente

[Studente Anonimo]

Siano \( a, b \in \mathbb{R} \) tale che \( a< b \). Consideriamo lo spazio metrico \( (C^0([a,b]), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^1}) \) dove, \[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^1} = \int_{a}^{b} \begin{vmatrix} f (x) \end{vmatrix} dx \]. Lo spazio \( (C^0([a,b]), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^1}) \) è uno spazio di Banach?

Per dimostrare che non è uno spazio di Banach basta trovare una successione di Cauchy che non converge, vero?
Pensavo magari ad una successione di Cauchy che "converge" ad una funzione discontinua, dunque essendo al di fuori dello spazio in questione allora è corretto dire che non converge?

[Studente Anonimo]

"3m0o":[...] Per dimostrare che non è uno spazio di Banach basta trovare una successione di Cauchy che non converge, vero? Pensavo magari ad una successione di Cauchy che "converge" ad una funzione discontinua, dunque essendo al di fuori dello spazio in questione allora è corretto dire che non converge?

Si' certo.

[feddy]

Esatto, devi trovare una successione ${ f_n }_n \in C^0[a,b]$ che non converga wrt $|\cdot|_{L^1}$ ad una funzione continua. L'idea qui è quella di prendere una spezzata fatta in modo opportuno, tale che per $n \rarr \infty$ converga ad una funzione discontinua

[Studente Anonimo]

Può funzionare ??
\[f_n(x) := \left\{\begin{matrix}
nx& \text{se} & a \leq x \leq \frac{a+b}{2n}\\
(a+b)-nx& \text{se} & \frac{a+b}{2n}\leq x\leq \frac{a+b}{n} \\
0 & \text{se} & \frac{a+b}{n}\leq x \leq b
\end{matrix}\right. \]

Abbiamo quando \( n \to \infty \) la funzione \( f_n \to f \) dove \[f(x) := \left\{\begin{matrix}
\frac{a+b}{2}& \text{se} &x=a\\
0 & \text{se} & a< x \leq b
\end{matrix}\right. \]

[feddy]

Non ho svolto i conti, ma dovrebbe andare bene. Per essere meno generali, prendi $[a,b]=[-1,1]$ e puoi prendere

\begin{align}
f_n(x) := \left\{\begin{matrix} -1& \text{se} & -1 \leq x \leq \frac{-1}{n}\\ nx& \text{se} & \frac{-1}{n}\leq x\leq \frac{1}{n} \\ 1 & \text{se} & \frac{1}{n}\leq x \leq 1 \end{matrix}\right.
\end{align}

Questa successione di funzioni *continue* converge in norma $L^1$ ad una funzione discontinua, pertanto tale spazio non è di Banach.

Come vedi la logica è la stessa