Successione di Cauchy e topologia naturale
Si consideri lo spazio metrico \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) dove \(\displaystyle d(x,y)=|e^{x}-e^{y}| \ \ \forall x, y \in \mathbb{R} \).
1) Si dimostri che \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) non è completo, utilizzando la successione \(\displaystyle \{x_n\}=-n \);
2) Si dimostri che la topologia generata da \(\displaystyle d \) su \(\displaystyle \mathbb{R} \) coincide con la topologia naturale (ovvero della distanza euclidea) su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
1) Poiché sappiamo che \(\displaystyle \{x_n\} \) non è convergente in \(\displaystyle \mathbb{R} \), basta far vedere che la successione data è di Cauchy per poter affermare che \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) non è uno spazio metrico completo.
Allora io avrei fatto così, ma non so se va bene:
Fissato \(\displaystyle N\in \mathbb{N} \), siano \(\displaystyle n,m\in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle n\geq N , m\geq N \). Allora: \(\displaystyle |e^{-n}-e^{-m}| = |e^{-n}-e^{-N}+e^{-N}-e^{-m}| \leq |e^{-n}-e^{-N}| + |e^{-N}-e^{-m}| =\)
\(\displaystyle =(e^{-N} - e^{-n}) + (e^{-N} - e^{-m}) = 2 e^{-N} - (e^{-n} + e^{-m}) < 2 e^{-N} \) .
Imponendo ora \(\displaystyle | e^{-n}-e^{-m} | < \varepsilon \), basterà scegliere un \(\displaystyle N=N(\varepsilon) \) t.c. \(\displaystyle 2 e^{-N} < \varepsilon \), cioè \(\displaystyle -Nln(2/\varepsilon) \ \ \forall \varepsilon >0 \).
Allora \(\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon)\in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle \forall m,n \geq N \) si ha: \(\displaystyle d(x_n,x_m)=d(-n,-m)= | e^{-n}-e^{-m} | <\varepsilon \). Questo significherebbe che \(\displaystyle \{x_n\} \) è di Cauchy.
2)Per questo punto, un primo modo che mi era venuto in mente era mostrare che - indicata con \(\displaystyle d_e \) la distanza euclidea - \(\displaystyle d \) e \(\displaystyle d_e \) sono topologicamente equivalenti, da cui avrei avuto che \(\displaystyle \tau_{d} = \tau_{d_{e}} \). Cioè avrei dovuto far vedere che\(\displaystyle \exists c_1,c_2>0\) t.c. \(\displaystyle c_1 d(x,y)\leq d_{e}(x,y) \leq c_2 d(x,y) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R} \), ma non sono nemmeno sicuro che ciò debba essere vero.
Il secondo modo che ho provato allora è questo: far vedere che:
a) \(\displaystyle \forall A \subset \mathbb{R}, A\in \tau_{d_{e}}\), si ha \(\displaystyle A\in \tau_{d} \) ;
b) \(\displaystyle \forall B \subset \mathbb{R}, B\in \tau_{d}\), si ha \(\displaystyle B\in \tau_{d_{e}} \) .
a) Ogni punto \(\displaystyle a \in A \) verifica: \(\displaystyle \exists r_1>0 \) t.c. \(\displaystyle (a-r_1,a+r_1)\subset A \). Si vuole dimostrare che \(\displaystyle \exists r_2>0 \) t.c. anche \(\displaystyle B_{d}(a,r_2)=\{x\in \mathbb{R}:d(x,a)=|e^x - e^a|
\(\displaystyle (r_2
b) Analogamente ad a), ho trovato che \(\displaystyle r_2 \in ( 0, min ( b-ln(e^b - r_1), ln(e^b +r_1) - b ) ) \).
Grazie in anticipo per le risposte.
1) Si dimostri che \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) non è completo, utilizzando la successione \(\displaystyle \{x_n\}=-n \);
2) Si dimostri che la topologia generata da \(\displaystyle d \) su \(\displaystyle \mathbb{R} \) coincide con la topologia naturale (ovvero della distanza euclidea) su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
1) Poiché sappiamo che \(\displaystyle \{x_n\} \) non è convergente in \(\displaystyle \mathbb{R} \), basta far vedere che la successione data è di Cauchy per poter affermare che \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) non è uno spazio metrico completo.
Allora io avrei fatto così, ma non so se va bene:
Fissato \(\displaystyle N\in \mathbb{N} \), siano \(\displaystyle n,m\in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle n\geq N , m\geq N \). Allora: \(\displaystyle |e^{-n}-e^{-m}| = |e^{-n}-e^{-N}+e^{-N}-e^{-m}| \leq |e^{-n}-e^{-N}| + |e^{-N}-e^{-m}| =\)
\(\displaystyle =(e^{-N} - e^{-n}) + (e^{-N} - e^{-m}) = 2 e^{-N} - (e^{-n} + e^{-m}) < 2 e^{-N} \) .
Imponendo ora \(\displaystyle | e^{-n}-e^{-m} | < \varepsilon \), basterà scegliere un \(\displaystyle N=N(\varepsilon) \) t.c. \(\displaystyle 2 e^{-N} < \varepsilon \), cioè \(\displaystyle -N
Allora \(\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon)\in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle \forall m,n \geq N \) si ha: \(\displaystyle d(x_n,x_m)=d(-n,-m)= | e^{-n}-e^{-m} | <\varepsilon \). Questo significherebbe che \(\displaystyle \{x_n\} \) è di Cauchy.
2)Per questo punto, un primo modo che mi era venuto in mente era mostrare che - indicata con \(\displaystyle d_e \) la distanza euclidea - \(\displaystyle d \) e \(\displaystyle d_e \) sono topologicamente equivalenti, da cui avrei avuto che \(\displaystyle \tau_{d} = \tau_{d_{e}} \). Cioè avrei dovuto far vedere che\(\displaystyle \exists c_1,c_2>0\) t.c. \(\displaystyle c_1 d(x,y)\leq d_{e}(x,y) \leq c_2 d(x,y) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R} \), ma non sono nemmeno sicuro che ciò debba essere vero.
Il secondo modo che ho provato allora è questo: far vedere che:
a) \(\displaystyle \forall A \subset \mathbb{R}, A\in \tau_{d_{e}}\), si ha \(\displaystyle A\in \tau_{d} \) ;
b) \(\displaystyle \forall B \subset \mathbb{R}, B\in \tau_{d}\), si ha \(\displaystyle B\in \tau_{d_{e}} \) .
a) Ogni punto \(\displaystyle a \in A \) verifica: \(\displaystyle \exists r_1>0 \) t.c. \(\displaystyle (a-r_1,a+r_1)\subset A \). Si vuole dimostrare che \(\displaystyle \exists r_2>0 \) t.c. anche \(\displaystyle B_{d}(a,r_2)=\{x\in \mathbb{R}:d(x,a)=|e^x - e^a|
\(\displaystyle (r_2
b) Analogamente ad a), ho trovato che \(\displaystyle r_2 \in ( 0, min ( b-ln(e^b - r_1), ln(e^b +r_1) - b ) ) \).
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
La completezza viene mantenuta per funzioni bi-Lipschiziane. Quindi è evidenti che non possano esistere i valori $c_1$ e $c_2$ che cerchi. Due metriche non equivalenti possono produrre la stessa topologia (la completezza non è un proprietà topologica insomma).
Il secondo metodo è quello corretto ma non ho tempo ora di leggerlo con attenzione.
Il secondo metodo è quello corretto ma non ho tempo ora di leggerlo con attenzione.
"vict85":
La completezza viene mantenuta per funzioni bi-Lipschiziane.
Potresti spiegarti meglio? Non credo di aver capito...
Per quanto riguardo il primo punto, va bene la verifica che ho fatto?
Grazie.
Una funzione bi-Lipschiziana è una funzione \(f\colon M\to N\) tra due spazi metrici \(M\) e \(N\) tale che \(\displaystyle c_1 d_N\bigl((f(x),f(y)\bigr) \le d_M(x,y) \le c_2 d_N\bigl((f(x),f(y)\bigr)\).
Una funzione di questo tipo è banalmente una funzione iniettiva e continua. Una funzione di questo tipo mantiene la completezza perché se \(\displaystyle \{y_n\} \) è una successione di Cauchy in \(N\) allora, usando l'iniettività, si ricava una successione in \(M\), che risulta di Cauchy per la bi-Lipschitzianità della mappa. Questa successione converge per la completezza e l'immagine del limite è un limite per \(\displaystyle \{y_n\} \).
Per dimostrare che hanno la stessa topologia devi dimostrare che le palle aperte di un insieme sono aperti dell'altro.
Riguardo al primo pezzo dovresti dimostrare che il limite della successione è lo stesso. Anche se i due insiemi sono definiti sullo stesso insieme non sono gli stessi spazi. Tanto per incominciare le nuova metrica non è definibile usando una norma. Ma direi che la dimostrazione è molto simile al caso della metrica standard.
Una funzione di questo tipo è banalmente una funzione iniettiva e continua. Una funzione di questo tipo mantiene la completezza perché se \(\displaystyle \{y_n\} \) è una successione di Cauchy in \(N\) allora, usando l'iniettività, si ricava una successione in \(M\), che risulta di Cauchy per la bi-Lipschitzianità della mappa. Questa successione converge per la completezza e l'immagine del limite è un limite per \(\displaystyle \{y_n\} \).
Per dimostrare che hanno la stessa topologia devi dimostrare che le palle aperte di un insieme sono aperti dell'altro.
Riguardo al primo pezzo dovresti dimostrare che il limite della successione è lo stesso. Anche se i due insiemi sono definiti sullo stesso insieme non sono gli stessi spazi. Tanto per incominciare le nuova metrica non è definibile usando una norma. Ma direi che la dimostrazione è molto simile al caso della metrica standard.
Scusate se riesumo questo post ma era rimasto in sospeso...
Sappiamo che la successione \(\displaystyle \{x_n\} = - n \) non è convergente in \(\displaystyle (\mathbb{R}, d_e) \), bensì divergente a \(\displaystyle -\infty \). Ma come faccio ad esprimere la stessa cosa per lo spazio \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) ? Mi basta provare che \(\displaystyle \nexists x \in \mathbb{R} \ \ t.c. \forall \varepsilon > 0, \exists n_0=n_0(\varepsilon) : \forall n\geq n_0 \ \ d(x_n,x)=|e^{-n} - e^{x}|<\varepsilon \) ,
oppure qual è il modo corretto di scrivere che il limite è \(\displaystyle -\infty \)?
Dai testi di Analisi I ho trovato solo la seguente espressione:
\(\displaystyle \forall K \in \mathbb{R}, \exists n_0=n_0(K) : \forall n\geq n_0 \ \ x_n \leq K \).
Ma come esprimo la stessa cosa per lo spazio \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) ?
"vict85":
Riguardo al primo pezzo dovresti dimostrare che il limite della successione è lo stesso.
Sappiamo che la successione \(\displaystyle \{x_n\} = - n \) non è convergente in \(\displaystyle (\mathbb{R}, d_e) \), bensì divergente a \(\displaystyle -\infty \). Ma come faccio ad esprimere la stessa cosa per lo spazio \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) ? Mi basta provare che \(\displaystyle \nexists x \in \mathbb{R} \ \ t.c. \forall \varepsilon > 0, \exists n_0=n_0(\varepsilon) : \forall n\geq n_0 \ \ d(x_n,x)=|e^{-n} - e^{x}|<\varepsilon \) ,
oppure qual è il modo corretto di scrivere che il limite è \(\displaystyle -\infty \)?
Dai testi di Analisi I ho trovato solo la seguente espressione:
\(\displaystyle \forall K \in \mathbb{R}, \exists n_0=n_0(K) : \forall n\geq n_0 \ \ x_n \leq K \).
Ma come esprimo la stessa cosa per lo spazio \(\displaystyle (\mathbb{R}, d) \) ?
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