Successione di Cauchy: Definizione Topologica
Ciao a tutti,
mi chiedevo se qualcuno conoscesse la definizione Topologica (ovvero mediante l'utilizzo degli intorni,etc..) di successione fondamentale o di Cauchy.
Grazie in anticipo
mi chiedevo se qualcuno conoscesse la definizione Topologica (ovvero mediante l'utilizzo degli intorni,etc..) di successione fondamentale o di Cauchy.
Grazie in anticipo
Risposte
Se $X, \tau$ è uno spazio vettoriale topologico, \(\mathcal B\) una base locale per $\tau$ (in $0$). Allora una successione $(x_n)_n \subset X$ è detta di Cauchy se per ogni \( V \in \mathcal B\) esiste $N \in \mathbb N$ t.c. per $n,m>N$ allora $x_n-x_m \in V$.
Se la base locale è numerabile, per un bel teorema, lo spazio è metrizzabile - cioè esiste una metrica invariante $d$ compatibile con la topologia. In particolare, si verifica che le Cauchy per la metrica sono esattamente le Cauchy che per la topologia.
Per maggiori approfondimenti, ti consiglio di dare uno sguardo alle prime pagine del Rudin, Functional Analysis e se ti interessa dai un'occhiata anche al concetto di rete (o net, cioè successioni generalizzate).
Se la base locale è numerabile, per un bel teorema, lo spazio è metrizzabile - cioè esiste una metrica invariante $d$ compatibile con la topologia. In particolare, si verifica che le Cauchy per la metrica sono esattamente le Cauchy che per la topologia.
Per maggiori approfondimenti, ti consiglio di dare uno sguardo alle prime pagine del Rudin, Functional Analysis e se ti interessa dai un'occhiata anche al concetto di rete (o net, cioè successioni generalizzate).
Certamente sai che gli spazi metrici costituiscono l'ambiente naturale in cui presentare la definizione di successione fondamentale. In particolare, non vi è alcun modo di tradurre questo concetto in uno spazio topologico qualsiasi, A MENO CHE esso non possegga anche una struttura vettoriale. Allora possiamo dare la seguente definizione.
Sia \( (V, \tau) \) uno spazio vettoriale topologico, e sia \( \mathscr{B} \) una base locale di intorni di \( 0 \) (i.e. un sottoinsieme di \( \tau \) tale che per ogni \( A \in \tau \) soddisfacente \( 0 \in A \) vi sia \( B \in \mathscr{B} \) tale che \( 0 \in B \subset A \)). Allora, una successione \( \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset V \) è detta essere fondamentale, o di Cauchy, se ad ogni \( B \in \mathscr{B} \) corrisponde un numero naturale \( N \) tale che la differenza \( x_n - x_m \) stia in \( B \) per tutti gli interi \( n \) ed \( m \) maggiori di \( N \).
Referenza: W. Rudin, Functional Analysis.
Ciao!
Sia \( (V, \tau) \) uno spazio vettoriale topologico, e sia \( \mathscr{B} \) una base locale di intorni di \( 0 \) (i.e. un sottoinsieme di \( \tau \) tale che per ogni \( A \in \tau \) soddisfacente \( 0 \in A \) vi sia \( B \in \mathscr{B} \) tale che \( 0 \in B \subset A \)). Allora, una successione \( \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset V \) è detta essere fondamentale, o di Cauchy, se ad ogni \( B \in \mathscr{B} \) corrisponde un numero naturale \( N \) tale che la differenza \( x_n - x_m \) stia in \( B \) per tutti gli interi \( n \) ed \( m \) maggiori di \( N \).
Referenza: W. Rudin, Functional Analysis.
Ciao!
'Azzo! Battuto sul tempo 
Grazie mille ragazzi!
Mi sono procurato anche il Rudin
Ciao
Mi sono procurato anche il Rudin
Ciao
Più in generale ancora: le successioni di Cauchy sono definibili in spazi metrici!
Sisi ho presente la definizione che ricorre all'utilizzo del concetto di metrica.
Grazie
Grazie
"j18eos":
Più in generale ancora: le successioni di Cauchy sono definibili in spazi metrici!
Più in generale?
Personalmente, non vedo più generalità nella nozione di spazio metrico. Ok, non hai struttura sul tuo insieme, ma la definizione di successione di Cauchy con una metrica è diretta, è sostanzialmente la stessa che si studia ad Analisi I. Al contrario, la definizione per i TVS non è così scontata, almeno secondo me.
"Paolo90":
Più in generale?
Personalmente, non vedo più generalità nella nozione di spazio metrico. Ok, non hai struttura sul tuo insieme, ma la definizione di successione di Cauchy con una metrica è diretta, è sostanzialmente la stessa che si studia ad Analisi I. Al contrario, la definizione per i TVS non è così scontata, almeno secondo me.
Sono d'accordo. Onestamente, a rigore, direi che nessuna delle due definizioni generalizza l'altra, e questo semplicemente perché dal punto di vista categorico tra spazi vettoriali topologici e spazi metrici non vi è alcuna inclusione. In parole povere, vi sono spazi metrici privi di struttura vettoriale e spazi vettoriali topologici la cui topologia non è legata ad alcuna struttura metrica.
Più che altro, direi che le nozioni di successione fondamentale in spazi metrici e in TVS sono due generalizzazioni (in direzioni diverse, per così dire) del concetto naturale di successione di Cauchy che uno dà in spazi vettoriali normati (che è l'immediata estensione che dovrebbe venire in mente di fare dopo aver studiato Analisi 1).
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