Successione di cauchy?
non riesco a capire se la successione
$ f_n=sqrt(n) $ se $-1/(2n)<= x <= 1/(2n)$
$ f_n=0 $ altrimenti
con la definizione di norma
$ || f || = sqrt(int_(-pi)^(pi) |f(x)|^2 dx )$
sia o non sia di Cauchy. qualcuno mi puo dare una mano?
$ f_n=sqrt(n) $ se $-1/(2n)<= x <= 1/(2n)$
$ f_n=0 $ altrimenti
con la definizione di norma
$ || f || = sqrt(int_(-pi)^(pi) |f(x)|^2 dx )$
sia o non sia di Cauchy. qualcuno mi puo dare una mano?
Risposte
Non c'è altro da fare che applicare la definizione. Si tratta, concretamente, di analizzare il termine
$||f_n-f_m||^2$
(il quadrato ti semplifica un po' la vita, facendo sparire quelle fastidiose radici quadrate). Fissa un $epsilon > 0$ e vedi se, prendendo $n$ ed $m$ entrambe sufficientemente grandi, riesci a rendere quel termine più piccolo di $epsilon$.
$||f_n-f_m||^2$
(il quadrato ti semplifica un po' la vita, facendo sparire quelle fastidiose radici quadrate). Fissa un $epsilon > 0$ e vedi se, prendendo $n$ ed $m$ entrambe sufficientemente grandi, riesci a rendere quel termine più piccolo di $epsilon$.
grazie mille per la rapida risposta, ecco , il mio problema è che alla fine ottengo , fissato $m>n$
$ || f_n-f_m ||^2=2-2 sqrt(n/m) $
ora a questo punto ho qualche dubbio su come proseguire. se scrivo $n=m-k$ allora
$ || f_n-f_m ||^2=2(1- sqrt(1-k/m)) $
ora sembrerebbe che
$1- sqrt(1-k/m)$ tende a zero, di conseguenza la successione iniziale è di cauchy.
ma se k è "molto grande"?? per esempio non so se è lecito scegliere $m=2n$, ma se così fosse allora la successione $f_n$ non è fondamentale in quanto si ha
$ || f_n-f_(2n) ||^2=2(1-1/sqrt(2)) $
non capisco dov'è l'inghippo.
$ || f_n-f_m ||^2=2-2 sqrt(n/m) $
ora a questo punto ho qualche dubbio su come proseguire. se scrivo $n=m-k$ allora
$ || f_n-f_m ||^2=2(1- sqrt(1-k/m)) $
ora sembrerebbe che
$1- sqrt(1-k/m)$ tende a zero, di conseguenza la successione iniziale è di cauchy.
ma se k è "molto grande"?? per esempio non so se è lecito scegliere $m=2n$, ma se così fosse allora la successione $f_n$ non è fondamentale in quanto si ha
$ || f_n-f_(2n) ||^2=2(1-1/sqrt(2)) $
non capisco dov'è l'inghippo.
Intanto c'è qualcosa che non va nei tuoi conti. Prendi la prima formula: per $m=1, n=4$ il membro destro diventa negativo mentre il membro sinistro è un quadrato, e quindi deve essere sempre positivo. [EDIT] No, no, scusa, non avevo visto la clausola $m>n$. [/edit]
Però la tua conclusione è giusta: quella successione non è di Cauchy. Te ne puoi accorgere intutivamente disegnando qualche termine: si capisce che quella successione non può che convergere alla funzione identicamente nulla, ma d'altra parte è, per ogni $n$, $||f_n||=1$. Se la successione fosse di Cauchy si dovrebbe avere $||0||=1$, una contraddizione.
Per dimostrare con precisione questo fatto puoi provare a formalizzare il ragionamento intuitivo appena fatto, oppure ricavare per bene una formula per $||f_n-f_m||^2$ e mostrare che non può essere reso piccolo a piacimento per $n, m$ sufficientemente grandi. Ti può aiutare osservare che, se $m>n$, allora $sqrt{n/m}<1$...
Però la tua conclusione è giusta: quella successione non è di Cauchy. Te ne puoi accorgere intutivamente disegnando qualche termine: si capisce che quella successione non può che convergere alla funzione identicamente nulla, ma d'altra parte è, per ogni $n$, $||f_n||=1$. Se la successione fosse di Cauchy si dovrebbe avere $||0||=1$, una contraddizione.
Per dimostrare con precisione questo fatto puoi provare a formalizzare il ragionamento intuitivo appena fatto, oppure ricavare per bene una formula per $||f_n-f_m||^2$ e mostrare che non può essere reso piccolo a piacimento per $n, m$ sufficientemente grandi. Ti può aiutare osservare che, se $m>n$, allora $sqrt{n/m}<1$...
grazie per la risposta!! comunque non mi sono chiare delle cose:
beh per dire il vero ancora non sono riuscito a capire se lo è o non lo è! comunque , è vero che la successione converge ad una funzione $f$ che è quasi ovunque nulla, ma in zero risulta che $f$ non assume valore finito! allora la cosa che non capisco è perchè $||f||=1$ dovrebbe essere una contraddizione, cioè capisco che sarebbe stata una 'contraddizione' se $f$ fosse limitata , ma nel mio caso non lo è! scusa ma non riesco proprio a capire, da ciò, come fai a trarre la conclusione che non è di cauchy.
un'altra cosa che mi è poco chiara è
sono d'accordo che poichè $sqrt{n/m}<1$ potrebbero esistere degli ε maggiori di zero che violino la diseguaglianza $||f_n-f_m ||<ε$, però sembrerebbe che se $n$ , $ m $ tendono entrambi all'infinito si ha $sqrt{n/m}->1$, e di conseguenza $||f_n-f_m ||=0$ cioè la successione è fondamentale?!?
PS
nel modo in cui ho formalizzato all'inizio sembra proprio che se $k$ è un intero finito, ad intuito me lo aspetterei in quanto $n=m-k$ , allora ho che la successione numerica $sqrt(1-k/m)$ converge ad uno, cioè per ogni $ε>0$ esiste $N$ tale che per ogni $m>N$ si ha $1-sqrt(1-k/m)<1/2 ε^2$ quindi sia $m_ε=N$ si ha
per ogni $n,m>m_ε$ $||f_n-f_m||<ε$
"dissonance":
Però la tua conclusione è giusta: quella successione non è di Cauchy. Te ne puoi accorgere intutivamente disegnando qualche termine: si capisce che quella successione non può che convergere alla funzione identicamente nulla, ma d'altra parte è, per ogni $n$, $||f_n||=1$. Se la successione fosse di Cauchy si dovrebbe avere $||0||=1$, una contraddizione.
beh per dire il vero ancora non sono riuscito a capire se lo è o non lo è! comunque , è vero che la successione converge ad una funzione $f$ che è quasi ovunque nulla, ma in zero risulta che $f$ non assume valore finito! allora la cosa che non capisco è perchè $||f||=1$ dovrebbe essere una contraddizione, cioè capisco che sarebbe stata una 'contraddizione' se $f$ fosse limitata , ma nel mio caso non lo è! scusa ma non riesco proprio a capire, da ciò, come fai a trarre la conclusione che non è di cauchy.
un'altra cosa che mi è poco chiara è
"dissonance":
Per dimostrare con precisione questo fatto puoi provare a formalizzare il ragionamento intuitivo appena fatto, oppure ricavare per bene una formula per $||f_n-f_m||^2$ e mostrare che non può essere reso piccolo a piacimento per $n, m$ sufficientemente grandi. Ti può aiutare osservare che, se $m>n$, allora $sqrt{n/m}<1$...
sono d'accordo che poichè $sqrt{n/m}<1$ potrebbero esistere degli ε maggiori di zero che violino la diseguaglianza $||f_n-f_m ||<ε$, però sembrerebbe che se $n$ , $ m $ tendono entrambi all'infinito si ha $sqrt{n/m}->1$, e di conseguenza $||f_n-f_m ||=0$ cioè la successione è fondamentale?!?
PS
nel modo in cui ho formalizzato all'inizio sembra proprio che se $k$ è un intero finito, ad intuito me lo aspetterei in quanto $n=m-k$ , allora ho che la successione numerica $sqrt(1-k/m)$ converge ad uno, cioè per ogni $ε>0$ esiste $N$ tale che per ogni $m>N$ si ha $1-sqrt(1-k/m)<1/2 ε^2$ quindi sia $m_ε=N$ si ha
per ogni $n,m>m_ε$ $||f_n-f_m||<ε$
Mmmh, no, troppa confusione. Intanto, dimostriamo che la successione NON è di Cauchy. Prima ti ho dato un suggerimento fuorviante, meglio sarebbe stato procedere così:
abbiamo detto che, per $n
$||f_n-f_(2n)||^2=1$
e questo esclude che $(f_n)_{n \in NN}$ possa essere di Cauchy. Dimostra per bene questa affermazione, se hai qualche dubbio: supponi per assurdo che $(f_n)$ sia di Cauchy e mostra che arrivi ad una contraddizione.
ATTENZIONE al tuo ragionamento. La successione $(2-2sqrt(n/m))_{n<=m}$ ha DUE indici e non puoi dire "converge a qualcosa". E poi, a parte questa cosa formale, guarda cosa succede scegliendo in varia maniera la $m$: per $m=n$ ottieni la successione identicamente nulla, per $n=4m$ ottieni la successione identicamente uguale ad $1$. Quindi, quando ragioni con due indici, non applicare gli stessi schemi mentali di quando hai un indice solo.
Poi c'è la questione della convergenza puntuale. Qui è meglio aspettare di trattare la faccenda in corsi superiori di analisi. Una funzione "quasi ovunque nulla", infatti, è la funzione nulla nel contesto degli spazi $L^p$ in cui ti trovi. Sempre in questo contesto, inoltre, non significa niente dire che "una funzione assume valore infinito in un punto".
abbiamo detto che, per $n
$||f_n-f_(2n)||^2=1$
e questo esclude che $(f_n)_{n \in NN}$ possa essere di Cauchy. Dimostra per bene questa affermazione, se hai qualche dubbio: supponi per assurdo che $(f_n)$ sia di Cauchy e mostra che arrivi ad una contraddizione.
ATTENZIONE al tuo ragionamento. La successione $(2-2sqrt(n/m))_{n<=m}$ ha DUE indici e non puoi dire "converge a qualcosa". E poi, a parte questa cosa formale, guarda cosa succede scegliendo in varia maniera la $m$: per $m=n$ ottieni la successione identicamente nulla, per $n=4m$ ottieni la successione identicamente uguale ad $1$. Quindi, quando ragioni con due indici, non applicare gli stessi schemi mentali di quando hai un indice solo.
Poi c'è la questione della convergenza puntuale. Qui è meglio aspettare di trattare la faccenda in corsi superiori di analisi. Una funzione "quasi ovunque nulla", infatti, è la funzione nulla nel contesto degli spazi $L^p$ in cui ti trovi. Sempre in questo contesto, inoltre, non significa niente dire che "una funzione assume valore infinito in un punto".
si hai ragione a dire che sono confuso! questo perchè io mi aspetterei che tale funzione sia di cauchy, mi spiego:
ho calcolato la norma di $f_n$ e mi sono accorto che è $||f_n||=1$ per qualsiasi $n$ , ora questo significa che sia la successione e sia la funzione alla quale converge in norma appartengono allo spazio delle quadrato sommabili $L^2_([-pi,pi])$ ??? se così fosse si può sfruttare il fatto che $L^2_([-pi,pi])$ è completo, cioè ($f_n$ converge)$<=>$ ($f_n$ è fondamentale), ora $f_n$ ha tutta l'aria di essere una funzione q.o.n. , perciò è fondamentale?
comunque se è lecita una scelta del tipo $m=2n$ , allora, come avevo notato inizialmente, la successione non è fondamentale, e tutti questi ragionamenti fanno a farsi a benedire!
ho calcolato la norma di $f_n$ e mi sono accorto che è $||f_n||=1$ per qualsiasi $n$ , ora questo significa che sia la successione e sia la funzione alla quale converge in norma appartengono allo spazio delle quadrato sommabili $L^2_([-pi,pi])$ ??? se così fosse si può sfruttare il fatto che $L^2_([-pi,pi])$ è completo, cioè ($f_n$ converge)$<=>$ ($f_n$ è fondamentale), ora $f_n$ ha tutta l'aria di essere una funzione q.o.n. , perciò è fondamentale?
comunque se è lecita una scelta del tipo $m=2n$ , allora, come avevo notato inizialmente, la successione non è fondamentale, e tutti questi ragionamenti fanno a farsi a benedire!
"zerolucat":Esatto. Rimanda questi ragionamenti a quando avrai gli strumenti per farli. Ora concentrati sul dimostrare con precisione che la successione assegnata NON è di Cauchy, come suggerivo nel post precedente. Altrimenti ti perdi in voli pindarici che ti porteranno solo ad errori.
comunque se è lecita una scelta del tipo $m=2n$ , allora, come avevo notato inizialmente, la successione non è fondamentale, e tutti questi ragionamenti fanno a farsi a benedire!
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