Successione di Cauchy:
Non riesco a comprendere il significato di tale definizione di successione di Cauchy. Che significa che i termini sono arbitrariamente vicini da certi indici in poi? non riesco ad immaginarmi un qualcosa di simile. Grazie per le eventuali delucidazioni, mercoledì ho un esame e non vorrei sbagliare su questo argomento. Grazie anticipate.
Risposte
Detto a parole: una successione convergente è una successione i cui termini si avvicinano ad un certo valore (il limite); una successione di Cauchy, invece, è una successione i cui termini si avvicinano tra loro.
una successione è di Cauchy se ,
\begin{align}\forall \varepsilon>0,\exists \nu>0 \,\,\,\ : \,\,\,\ |x_m-x_n|<\varepsilon \quad m,n >\nu\end{align}
o, equivalentemete
\begin{align}\forall \varepsilon>0,\exists \nu>0 \,\,\,\ : \,\,\,\ &\textrm{se} \,\,\,\ n>\nu \,\,\,\ \textrm{allora} \,\,\,\ \forall k\ge1 \,\,\,\ |x_{n+k}-x_n|<\varepsilon\\\\
\Rightarrow&\lim_{n\to +\infty}\sup_{k}|x_{n+k}-x_n|=0
\end{align}
come vedi il valore del limite non interviene in queste definizioni, ciò vuol dire che se la successione converge verso un valore, allora vuol dire che da un certo punto in poi i termini successivi della ssuccessione sono sempre più vicini tra loro.
\begin{align}\forall \varepsilon>0,\exists \nu>0 \,\,\,\ : \,\,\,\ |x_m-x_n|<\varepsilon \quad m,n >\nu\end{align}
o, equivalentemete
\begin{align}\forall \varepsilon>0,\exists \nu>0 \,\,\,\ : \,\,\,\ &\textrm{se} \,\,\,\ n>\nu \,\,\,\ \textrm{allora} \,\,\,\ \forall k\ge1 \,\,\,\ |x_{n+k}-x_n|<\varepsilon\\\\
\Rightarrow&\lim_{n\to +\infty}\sup_{k}|x_{n+k}-x_n|=0
\end{align}
come vedi il valore del limite non interviene in queste definizioni, ciò vuol dire che se la successione converge verso un valore, allora vuol dire che da un certo punto in poi i termini successivi della ssuccessione sono sempre più vicini tra loro.