Successione definita x ricorrenza
Buonasera,
sto svolgendo un esercizio sulle successioni definite per ricorrenza, nel testo non è presente il primo termine della successione. In questi casi come bisogna procedere ?
Comunque la successione è definita da :
Una volta supposto che esiste il limite è vale $L$, come faccio a procedere per calcolarmi il limite della successione $**$, qual ora esistesse, se non conosco il primo termine della successione ?
Ciao
sto svolgendo un esercizio sulle successioni definite per ricorrenza, nel testo non è presente il primo termine della successione. In questi casi come bisogna procedere ?
Comunque la successione è definita da :
$ ** a_{n+1}= 2a_n +1$
Una volta supposto che esiste il limite è vale $L$, come faccio a procedere per calcolarmi il limite della successione $**$, qual ora esistesse, se non conosco il primo termine della successione ?
Ciao
Risposte
Procedere per fare cosa?
Ciao, l'ho corretto.
Per calcolare il limite della successione, qual'ora esistesse.
Per calcolare il limite della successione, qual'ora esistesse.
Puoi riscriverla per un generico \(\displaystyle a_{n+k} \) in funzione di \(\displaystyle a_n \).
A quel punto ti viene una funzione in un unico parametro, studi il comportamento del limite al variare di quel parametro. Dovrebbe venire +oo, - 1, - oo a seconda di a_n
A quel punto ti viene una funzione in un unico parametro, studi il comportamento del limite al variare di quel parametro. Dovrebbe venire +oo, - 1, - oo a seconda di a_n
considera la funzione $y=2x+1$ e ti chiedi quali siano le successioni ${a_n}$ tali che $P_n=(a_n,a_(n+1))$ soddisfi l'equazione per ogni $n in NN$
ovvero che $a_(n+1)=2a_n+1$
vale il seguente teorema. Sia $f:X->RR$ una funzione continua e ${a_n}subseteqX$ una successione tale che $a_(n+1)=f(a_n)$ allora, se $a_n$ converge, converge ad un punto fisso della funzione.
di fatto supponiamo che $a_n -> a$ allora per continuità $f(a_n) -> f(a)$ ma d'altra parte $f(a_n)=a_(n+1) ->a$
per unicità del limite deve essere $f(a)=a$
la funzione $y=2x+1$ è una funzione continua quindi il limite di una successione che soddisfa quella relazione deve essere $a=2a+1 => a=-1$
infatti puoi anche calcolare la successione esplicitamente notando che:
$a_0=k$
$a_1=2a_0+1$
$a_2=2a_1+1=2(2a_0+1)+1=4a_0+3$
$a_3=2a_2+1=2(4a_0+3)+1=8a_0+7$
viene da pensare che sia $a_n=2^na_0+2^n-1$
mostriamolo per induzione.
per $n=0,1$ è banalmente vero. Supponiamo sia vero per $n$ e mostriamo che lo sarà anche per $n+1$
$a_(n+1)=2a_n+1=2(2^na_0+2^n-1)+1=2^(n+1)a_0+2^(n+1)-1$
fine. Si ha $a_n=2^n(a_0+1)-1$
Nota che questo rispetta quello che abbiamo detto in quanto abbiamo detto che 'se converge, converge a $-1$' ma nulla ci conferma che la successione converga, a meno che non troviamo una soluzione esplicita.
Infatti notiamo che ${a_n}$ converge se e solo se $a_n=-1, forall n inNN$
ovvero che $a_(n+1)=2a_n+1$
vale il seguente teorema. Sia $f:X->RR$ una funzione continua e ${a_n}subseteqX$ una successione tale che $a_(n+1)=f(a_n)$ allora, se $a_n$ converge, converge ad un punto fisso della funzione.
di fatto supponiamo che $a_n -> a$ allora per continuità $f(a_n) -> f(a)$ ma d'altra parte $f(a_n)=a_(n+1) ->a$
per unicità del limite deve essere $f(a)=a$
la funzione $y=2x+1$ è una funzione continua quindi il limite di una successione che soddisfa quella relazione deve essere $a=2a+1 => a=-1$
infatti puoi anche calcolare la successione esplicitamente notando che:
$a_0=k$
$a_1=2a_0+1$
$a_2=2a_1+1=2(2a_0+1)+1=4a_0+3$
$a_3=2a_2+1=2(4a_0+3)+1=8a_0+7$
viene da pensare che sia $a_n=2^na_0+2^n-1$
mostriamolo per induzione.
per $n=0,1$ è banalmente vero. Supponiamo sia vero per $n$ e mostriamo che lo sarà anche per $n+1$
$a_(n+1)=2a_n+1=2(2^na_0+2^n-1)+1=2^(n+1)a_0+2^(n+1)-1$
fine. Si ha $a_n=2^n(a_0+1)-1$
Nota che questo rispetta quello che abbiamo detto in quanto abbiamo detto che 'se converge, converge a $-1$' ma nulla ci conferma che la successione converga, a meno che non troviamo una soluzione esplicita.
Infatti notiamo che ${a_n}$ converge se e solo se $a_n=-1, forall n inNN$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo