Successione definita per ricorsione

[anti-spells]

Sia $a_0>=0, \beta >0$ e def. $a_(n+1) = (\beta*(a_n)^2)/(1+(a_n)^2)$ , dire per quali $beta$ la successione
converge e calcolarne il limite

Io ho pensato di studiare prima $0<\beta<2$:

definisco $f(x) = (\beta*x^2)/(1+x^2)$ e studio $f(x)>x$ ovvero $(\beta*x^2)/(1+x^2) < x <=>

<=> x(x^2-\beta*x+1)>=0 <=> x>=0$ e poichè è vero sempre ($a_n>0 AA n$) la funzione è decrescente, e
$lim_{x \to \infty}f(x) = \beta$ . La funzione è monotona e limitata quindi ammette limite, da ricercarsi nella soluzione
di $f(x) = x$ , ovvero $L=0$

Prima di continuare a studiare gli altri casi mi rendo conto di aver sbagliato da qualche parte, ma dove? Dov'è che sto dicendo una ca**ata?

[vict85]

Attento che \(a_n\) non tende necessariamente all'infinito, insomma studiarla come una funzione potrebbe essere fuorviante. Per esempio se \(\beta = 1\) e \(0 < a_0 < 1\) hai che \(0 < a_n < a^2_{n-1} < a_{n-1} < 1\) per ogni \(n\ge 1\). Pertanto la successione tenederà a \(0\).

[anti-spells]

Ok grazie, quindi qui cosa devo guardare? Però comunque per $0<\beta<2$ è decrescente, e ha limite?

[vict85]

Se \(a_0 = 0\), la successione è costante per ogni \(\beta\). Se \(\displaystyle a_0 \ne 0 \) allora puoi scrivere \(\displaystyle \frac{\beta a_{n-1}^2}{1 + a_{n-1}^2} \) come \(\displaystyle \frac{\beta}{1 + a_{n-1}^{-2}} \). Siccome \(\displaystyle a_{n-1}^{-2} > 0 \), si ricava immediatamente che \(\displaystyle a_n < \beta \) per ogni \(\displaystyle n \ge 1 \). Questo è vero indipendentemente da \(\beta\).

Ignorando la forma, la tua analisi è corretta per \(\displaystyle 0 < \beta < 2 \) nel senso che la successione è decrescente indipendentemente da \(\displaystyle a_0 \). Una successione limitata e decrescente ha come limite il suo limite inferiore. Ma sapresti calcolarlo?

Per \(\displaystyle \beta\ge 2 \), l'equazione \(\displaystyle k = \frac{\beta k^2}{1 + k^2} \) ovvero \(\displaystyle k( k^2 - \beta k + 1 ) = 0 \) ha soluzioni diverse da \(\displaystyle 0 \). Quindi avrai sicuramente comportamenti diversi a seconda del valore di \(\displaystyle a_0 \).

[anti-spells]

Propongo una soluzione per tutti e tre i casi, sperando che qualcuno possa confermarla/dirmi cosa non va:

Abbiamo già visto che per $0<\beta<2$ è decrescente e inoltre è inferiormente limitata da $0$ , quindi
$\lim_{n \to \infty}a_n = 0$ e quindi converge

Caso $\beta=2$ : se $a_0=1$ la successione è costante e banalmente converge a 1
se $a_0!=!$ , studiando la monotonia: $2a_n^2/(1+a_n^2) < 1 <=> (a_n-1)^2 > 0$ sempre vero, quindi anche per $beta=2$ è decrescente e il limite è 0

Caso $\beta>2$ : studiando la monotonia si vede che per $(\beta - sqrt(\beta^2-4))/2 < a_n < (\beta + sqrt(\beta^2-4))/2$
la successione è crescente, altrimenti è decrescente, quindi la successione converge a $0$ o a $(\beta + sqrt(\beta^2-4))/2$
(parte di cui non sono sicuro:)

sia $x=(\beta - sqrt(\beta^2-4))/2 => \beta = x + 1/x$

allora $\lim_{n \to \infty}a_n = x => \lim_{n \to \infty}((x+1/x)a_n^2)/(1+a_n^2) = x$
$\lim_{n \to \infty}a_n = 0 => \lim_{n \to \infty}(\betaa_n^2)/(1+a_n^2) = 0$

quindi la successione converge a $(\beta + sqrt(\beta^2-4))/2$

Non capisco l'ultima parte che non è stata fatta da me, è vero quello che è affermato? Perchè converge? Io pensavo che poichè la monotonia della successione non si può determinare allora il limite non esiste, ma quello che ho scritto implica che la successione sia definitivamente crescente. E' così? Qualcuno può darmi qualche delucidazione?

[vict85]

Per la prima parte, direi che manca la dimostrazione. Il fatto che qualcosa sia decrescente e che sia inferiormente limitato da un valore non implica affatto che la successione converga a quel valore. In particolare, se \(\beta > 1\) e \(a_0>1\) non mi è per niente ovvio che la successione scenda sotto \(1\).
Anche le altre parti mi sembrano incomplete ma ci ho fatto poca attenzione.