Successione definita per ricorrenza [EX]

[Kashaman]

$ AA n \in NN : 0
$0 $x_(n+1)=1/(4(1-x_n))$

Mi chiede di studiarne il carattere al variare di $x_0 \in ]0,1/2]$.

Preliminarmente notiamo che $AA n \in NN : 0 Mostro (1) per induzione su $n$.
Per $n=0$ si ha per ipotesi che $0 Innanzi tutto per ipotesi induttiva si ha che $1-x_n >0$ pertanto valgono le seguenti diseguaglianze :
$0 0 Pertanto $AA n \in NN : 0
Studio ora il caso $x_0=1/2$
elencando qualche elemento noto che $x_n$ assume valore costante $1/2$.
Provo che $AA n \in NN : x_n = 1/2$, ciò per induzione si mostra facilmente.
Pertanto , in questo caso $lim x_n = 1/2$.

Mi resta da studiare il caso in cui $x_0 \in ]0,1/2[$.
In tal caso, sporcandomi un po le mani e facendo qualche prova, ho congetturato che $x_n$ sia crescente.


Voglio provare che $AA n \in NN : x_n <= x_(n+1)$.
Banalmente si verifica che $x_0 <= x_1$.
Supponiamo vero che $x_n <= x_(n+1)$ (1) e proviamo che $x_(n+1) <= x_(n+2)$.

Si ha che $x_(n+2)= 1/4(1-x_(n+1))>=$( per la (1) $ 1/4((1-x_n) = x_(n+1)$.
Pertanto si ha che ${x_n}$ è crescente. Dunque ammette limite. Sappiamo che $x_n \in ]0,1/2]$ e che $l=lim x_n $ è il sup di ${x_n}$ , pertanto si ha che $l=1/2$



Che vi sembra ragazzi? grazie mille!

[theras]

Ma come fai a dire a priori che $1/2$ non è sovrabbondante?
Nulla lascia affermare con sicurezza,nel tuo ragionamento,
che $1/2$ è qualcosa di più d'un semplice maggiorante del sostegno di ${x_n}_(n in NN)$:
dovresti ricorrere alla seconda proprietà degli estremi superiori,per poterlo fare,
ed il ragionamento s'avviterebbe parecchio rispetto alla "semplice" soluzione dell'equazioncina $l=1/(4(1-l))$,
alla quale puoi ricorrere proprio grazie alla crescenza della tua successione e ad un teorema sulle sue estratte di cui,
se la memoria non m'ha abbandonato del tutto,
hai parlato di recente ..
Saluti dal web.

[Kashaman]

salve theras. Hai ragione , in effetti che $AA n \in NN : 0 da una parte so $AA n \in NN : x_(n+1) = 1/(4(1-x_n))$ (1), dall'altra so che se $x_(n)-> l => x_(n+1) -> l$ perché sua estratta. Da (1) quindi, passando al limite, si ha che se $l$ esiste deve soddisfare : $l = 1/(4(1-l))$ , cioé $l=1/2$.
Ora so che $x_n$ è limitata , quindi $sUp x_n = l \in RR$, so che è crescente e quindi $lim x_n = sUp x_n =l$.
Da (1) so che l'unico $l$ ammissibile è $1/2$ , pertanto $lim x_n = 1/2$.
Penso sia tutto corretto ora, spero.
Grazie mille Theras.