Successione definita per ricorrenza: dubbio

[Mino_01]

Sia $ Phi :Omega_0 sube R^nrarr R^n $ tale che $ |Phi(a)-Phi(b)|<=c|a-b| $ $ AA a,bin Omega_0; cin]0,1[ $
dove:
$ Omega_0 =I(vec(0),delta_0 ) $ un intorno del vettore nullo con raggio $delta_0$ ;
$ 0 $ Omega=I(vec(0),delta)$;

Quindi definita la successione $ {Psi_k}_(kin N) $ in maniera ricorsiva in $Omega $:
$ Psi_1(t)=t $
$ Psi_(m+1)(t)=Phi(Psi_(m)(t))+t $
$AAt in Omega $


Quindi dimostrare che:
a) la successione $ {Psi_k}_(kin N) $ converge puntualmente in $Omega$ a $ Psi:Omegararr R^n $

in $Omega $
b) $ |Psi(t)|<=t/(1-c); $
c) $ Psi(t)-Phi(Psi(t))=t $

La questione è dimostrata in uno dei testi di analisi ma non mi è del tutto chiara in un punto proprio all' inizio.
Usato come lemma nella dimostrazione della invertibilità delle trasformazioni di $R^n$.

Voi come incomincereste la dimostrazione?

Grazie in anticipo
Saluti
Mino

[Mino_01]

La questione che mi lascia perplesso è proprio all' inizio il fatto di definire la successione $ Psi_k(t) $ in maniera ricorsiva:
la definizione stessa involve la composizione funzionale e perciò deve essere $ Psi_k(t)sube Omega_0 $ ancora prima di definire la successione stessa ....

[Luca.Lussardi]

E' probabile che si passi per successioni di Cauchy, e quindi completezza di $\mathbb R^n$.

[Mino_01]

Sig. Lussardi grazie per l' attenzione

In effetti non ho ben chiaro il meccanismo logico di base della definizione della successione
perché vengono definite funzioni ancor prima di stabilire informazioni sui loro codomini o immagine per dare senso alla composizione ricorsiva.

Ho provato a ragionare applicando in successione il principio di induzione:

definendo simboli o caratteri grafici così:
$ Psi_1(t)=t $
$ Psi_(m+1)(t)=Phi(Psi_m(t))+t $
non ho ancora definito la successione di funzione perché non dico nulla sulla possibilità di composizione funzionale
dovendo essere come ho detto $Psi_m(Omega)sube Omega_0$, ora ho soltanto una infinità numerabile di simboli.


Per il principio di induzione (sempre $tin Omega$):
considero "$Psi_1(t)$ una funzione", dimostro che "$ |Psi_1(t)|<=\|t|/(1-c) considero "$Psi_m(t)$" una funzione", "$Psi_m(t)<=|t|/(1-c)$" da ciò dimostro che "$Psi(m+1)$ è una funzione" , "$Psi(m+1)<=|t|/(1-c)$"

più sinteticamente:
$P(m):= Psi_m(t)" è una funzione ed anche " Psi_m(t)<=|t|/(1-c)$
ho fatto vedere che $P(1)$ è vera , $ P(m)rarr P(m+1) $

Ho definito le funzioni e stabilito che le loro immagini stanno in $Omega_0$.


Eppure c' è qualcosa che non mi convince nel mio ragionamento ....

Sig. Lussardi
il criterio di Cauchy è usato dopo per provare la convergenza puntuale delle $Psi_m$ in $Omega$....ed è
però un facile esercizio.

Grazie ancora per l' attenzione
e in anticipo per qualche intervento
Saluti
Mino

[Mino_01]

Up!