Successione definita per ricorrenza
Salve! Sto cercando di studiare questa successione definita per ricorrenza al variare del dato iniziale:
$a_(n+1)=sqrt(3a_n+3)$
$a_0=\alpha>=1$
ho iniziato cercando i punti fissi che sono anche i possibili limiti a cui convergerà (o meno) la successione, e mi risultano essere $(3+sqrt(21))/2$ e $(3-sqrt(21))/2$.
A questo punto devo cercare di dimostrare che la successione è monotona crescente o, nel caso in cui non lo fosse, devo studiare le successione iterata seconda che mi darà due sottosuccessioni pari e dispari da considerare.
Potreste darmi un imput per iniziare questo studio?
Non so da dove cominciare...
$a_(n+1)=sqrt(3a_n+3)$
$a_0=\alpha>=1$
ho iniziato cercando i punti fissi che sono anche i possibili limiti a cui convergerà (o meno) la successione, e mi risultano essere $(3+sqrt(21))/2$ e $(3-sqrt(21))/2$.
A questo punto devo cercare di dimostrare che la successione è monotona crescente o, nel caso in cui non lo fosse, devo studiare le successione iterata seconda che mi darà due sottosuccessioni pari e dispari da considerare.
Potreste darmi un imput per iniziare questo studio?
Non so da dove cominciare...
Risposte
Allora, hai una ricorrenza del tipo:
[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =f(a_n) \\ a_0=\alpha \end{cases}$[/tex]
con [tex]$f(x)=\sqrt{3(x+1)}$[/tex] ed [tex]$\alpha \geq 1$[/tex].
Hai individuato i punti fissi di [tex]$f(x)$[/tex], che sono i possibili limiti della successione [tex]$(a_n)$[/tex], quindi ora bisogna studiare la regolarità di [tex]$(a_n)$[/tex] al variare del parametro iniziale [tex]$\alpha$[/tex].
Innanzitutto, è possibile escludere da subito che ci possa essere convergenza verso [tex]$\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex]: invero è [tex]$a_n>0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex], ergo la successione non può ammettere come limite il numero negativo [tex]$\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex] (ché altrimenti il teorema della permanenza del segno sarebbe violato).
Ne viene che, se c'è convergenza, allora l'unico limite possibile è l'altro punto unito di [tex]$f(x)$[/tex], cioè [tex]$\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
Per quanto riguarda la monotonia, basta osservare quanto segue.
Si ha [tex]$x< f(x)$[/tex] se e solo se [tex]$x\in ]\tfrac{3-\sqrt{21}}{2},\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}[$[/tex] e, reciprocamente, [tex]$x> f(x)$[/tex] se [tex]$x\in ]-\infty ,\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}[\cup ]\tfrac{3+\sqrt{21}}{2} ,+\infty[$[/tex].
Perciò affinché la successione [tex]$(a_n)$[/tex] risulti crescente occorre e basta che [tex]$0\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
Quindi per stabilire la monotonia di [tex]$(a_n)$[/tex] dobbiamo verificare che la successione abbia o un appropriato buond inferiore od un appropriato bound superiore: questo, ovviamente dipenderà dalla scelta del punto inziale [tex]$\alpha$[/tex].
Distinguiamo allora i casi 1 [tex]$1\leq \alpha <\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex], 2 [tex]$\alpha =\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e 3 [tex]$\alpha >\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] (che vengono naturali, in quanto [tex]$a_0=\alpha$[/tex]).
1 In questo caso abbiamo [tex]$a_0=\alpha <\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e questo ci fa pensare che l'induzione ci possa aiutare a mostrare che:
(*) [tex]$a_n<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]:
infatti, possiamo usare [tex]$a_0<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] come base dell'induzione; inoltre dall'ipotesi induttiva [tex]$a_n<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e dalla stretta crescenza della [tex]$f(x)$[/tex] discende immediatamente che:
[tex]$a_{n+1}=f(a_n)
sicché è verificato anche il passo induttivo e la relazione (*) è dimostrata.
Ne consegue che [tex]$(a_n)$[/tex] è strettamente crescente se [tex]$\alpha<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
2. In questo caso risulta [tex]$a_0=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e, per induzione, [tex]$a_n=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]. Ne consegue che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] è costante ed uguale ad [tex]$\alpha =\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
3. In tal caso è immediato che [tex]$a_0=\alpha >\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex], quindi potremmo usare l'induzione come prima per mostrare che:
(**) [tex]$a_n>\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]:
invero, la base dell'induzione c'è; d'altra parte l'ipotesi induttiva [tex]$a_n>\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e la stretta crescenza di [tex]$f(x)$[/tex] implicano:
[tex]$a_{n+1}=f(a_n)>f(\tfrac{3+\sqrt{21}}{2})=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex],
sicché è verificato pure il passo induttivo e la (**) è dimostrata.
Conseguentemente, [tex]$(a_n)$[/tex] è strettamente decrescente se [tex]$\alpha>\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
In ognuno dei tre casi precedenti è evidente che [tex]$\lim_n a_n=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex]: ad esempio, in 1 abbiamo una successione crescente limitata dall'alto, quindi essa converge, e converge proprio al valore che hai stabilito all'inizio (perchè, come visto, non può far altro).
[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =f(a_n) \\ a_0=\alpha \end{cases}$[/tex]
con [tex]$f(x)=\sqrt{3(x+1)}$[/tex] ed [tex]$\alpha \geq 1$[/tex].
Hai individuato i punti fissi di [tex]$f(x)$[/tex], che sono i possibili limiti della successione [tex]$(a_n)$[/tex], quindi ora bisogna studiare la regolarità di [tex]$(a_n)$[/tex] al variare del parametro iniziale [tex]$\alpha$[/tex].
Innanzitutto, è possibile escludere da subito che ci possa essere convergenza verso [tex]$\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex]: invero è [tex]$a_n>0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex], ergo la successione non può ammettere come limite il numero negativo [tex]$\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex] (ché altrimenti il teorema della permanenza del segno sarebbe violato).
Ne viene che, se c'è convergenza, allora l'unico limite possibile è l'altro punto unito di [tex]$f(x)$[/tex], cioè [tex]$\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
Per quanto riguarda la monotonia, basta osservare quanto segue.
Si ha [tex]$x< f(x)$[/tex] se e solo se [tex]$x\in ]\tfrac{3-\sqrt{21}}{2},\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}[$[/tex] e, reciprocamente, [tex]$x> f(x)$[/tex] se [tex]$x\in ]-\infty ,\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}[\cup ]\tfrac{3+\sqrt{21}}{2} ,+\infty[$[/tex].
Perciò affinché la successione [tex]$(a_n)$[/tex] risulti crescente occorre e basta che [tex]$0
Quindi per stabilire la monotonia di [tex]$(a_n)$[/tex] dobbiamo verificare che la successione abbia o un appropriato buond inferiore od un appropriato bound superiore: questo, ovviamente dipenderà dalla scelta del punto inziale [tex]$\alpha$[/tex].
Distinguiamo allora i casi 1 [tex]$1\leq \alpha <\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex], 2 [tex]$\alpha =\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e 3 [tex]$\alpha >\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] (che vengono naturali, in quanto [tex]$a_0=\alpha$[/tex]).
1 In questo caso abbiamo [tex]$a_0=\alpha <\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e questo ci fa pensare che l'induzione ci possa aiutare a mostrare che:
(*) [tex]$a_n<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]:
infatti, possiamo usare [tex]$a_0<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] come base dell'induzione; inoltre dall'ipotesi induttiva [tex]$a_n<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e dalla stretta crescenza della [tex]$f(x)$[/tex] discende immediatamente che:
[tex]$a_{n+1}=f(a_n)
sicché è verificato anche il passo induttivo e la relazione (*) è dimostrata.
Ne consegue che [tex]$(a_n)$[/tex] è strettamente crescente se [tex]$\alpha<\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
2. In questo caso risulta [tex]$a_0=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e, per induzione, [tex]$a_n=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]. Ne consegue che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] è costante ed uguale ad [tex]$\alpha =\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
3. In tal caso è immediato che [tex]$a_0=\alpha >\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex], quindi potremmo usare l'induzione come prima per mostrare che:
(**) [tex]$a_n>\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]:
invero, la base dell'induzione c'è; d'altra parte l'ipotesi induttiva [tex]$a_n>\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex] e la stretta crescenza di [tex]$f(x)$[/tex] implicano:
[tex]$a_{n+1}=f(a_n)>f(\tfrac{3+\sqrt{21}}{2})=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex],
sicché è verificato pure il passo induttivo e la (**) è dimostrata.
Conseguentemente, [tex]$(a_n)$[/tex] è strettamente decrescente se [tex]$\alpha>\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex].
In ognuno dei tre casi precedenti è evidente che [tex]$\lim_n a_n=\tfrac{3+\sqrt{21}}{2}$[/tex]: ad esempio, in 1 abbiamo una successione crescente limitata dall'alto, quindi essa converge, e converge proprio al valore che hai stabilito all'inizio (perchè, come visto, non può far altro).
Grazie Gugo!!!
Ad essere sincera ieri,spinta dalla disperazione,ho provato a risolverla cercando di seguire un esercizio simile che la professoressa aveva fatto a lezione, e forse è meglio così,perchè almeno l'ho fatto da sola!
I risultati sono gli stessi, tranne per il fatto che ho considerato anche il punto limite $(3-sqrt(21))/2$, ma adesso mi sembra di aver capito lo sbaglio. A questo punto però mi chiedo: se quel punto non possiamo considerarlo come probabile limite per ovvi motivi,è inutile andare a considerare anche gli intervalli in cui $\alpha$ assume quei valori o ci si avvicina, tipo $(3-sqrt(21))/2<\alpha<0 ?
Non riesco poi a capire perchè hai considerato l'intervallo $1<=\alpha<(3+sqrt(21))/2$ e non $0<=\alpha<(3+sqrt(21))/2$...
Ad essere sincera ieri,spinta dalla disperazione,ho provato a risolverla cercando di seguire un esercizio simile che la professoressa aveva fatto a lezione, e forse è meglio così,perchè almeno l'ho fatto da sola!
I risultati sono gli stessi, tranne per il fatto che ho considerato anche il punto limite $(3-sqrt(21))/2$, ma adesso mi sembra di aver capito lo sbaglio. A questo punto però mi chiedo: se quel punto non possiamo considerarlo come probabile limite per ovvi motivi,è inutile andare a considerare anche gli intervalli in cui $\alpha$ assume quei valori o ci si avvicina, tipo $(3-sqrt(21))/2<\alpha<0 ?
Non riesco poi a capire perchè hai considerato l'intervallo $1<=\alpha<(3+sqrt(21))/2$ e non $0<=\alpha<(3+sqrt(21))/2$...
Ho preso [tex]$\alpha \geq 1$[/tex] perchè nella tua traccia c'è scritto così.
Ad ogni modo, il ragionamento funziona pure per [tex]$\alpha \geq -1$[/tex].
Inoltre, noto che c'è un errore dovuto all'elevamento al quadrato: infatti [tex]$\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex] non è affatto un punto fisso per [tex]$f(x)$[/tex], giacché [tex]$f(\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}) =\tfrac{\sqrt{21}-3}{2}>0> \tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex].
Ieri notte non me n'ero proprio accorto...
Ad ogni modo, il ragionamento funziona pure per [tex]$\alpha \geq -1$[/tex].
Inoltre, noto che c'è un errore dovuto all'elevamento al quadrato: infatti [tex]$\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex] non è affatto un punto fisso per [tex]$f(x)$[/tex], giacché [tex]$f(\tfrac{3-\sqrt{21}}{2}) =\tfrac{\sqrt{21}-3}{2}>0> \tfrac{3-\sqrt{21}}{2}$[/tex].
Ieri notte non me n'ero proprio accorto...
Si,in effetti ho sbagliato a scrivere la traccia,che sbadata.... -_-''
Non vorrei dire una cavolata ma $(3-sqrt(21))/2$ non deve essere lo zero di $f(x)$ ma di $f(x)-x$ e in quel caso i conti tornano...
Per quanto riguarda $-1<=\alpha<((3-sqrt(21))/2)$ non sono sicura del mio ragionamento:
visto che $\alpha=a_0$ per induzione risulta $-1<=a_n<((3-sqrt(21))/2)$ e inoltre $f(x)>x$ quindi $f(a_n)>a_n$, ossia la successione è monotona crescente limitata dall'alto da $(3-sqrt(21))/2$,quindi la successione tende a questo limite. E' giusto il ragionamento?
Non vorrei dire una cavolata ma $(3-sqrt(21))/2$ non deve essere lo zero di $f(x)$ ma di $f(x)-x$ e in quel caso i conti tornano...
Per quanto riguarda $-1<=\alpha<((3-sqrt(21))/2)$ non sono sicura del mio ragionamento:
visto che $\alpha=a_0$ per induzione risulta $-1<=a_n<((3-sqrt(21))/2)$ e inoltre $f(x)>x$ quindi $f(a_n)>a_n$, ossia la successione è monotona crescente limitata dall'alto da $(3-sqrt(21))/2$,quindi la successione tende a questo limite. E' giusto il ragionamento?
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