Successione definita per ricorrenza
Sia $a_0=0$ e $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ studiarne il comportamento.
allora ho dimostrato banalmente che questa successione è sempre maggiore o uguale a 1 (ovviamente escluso $a_0$) e secondo me tende a 1 però non so come fare, cioè vorrei far vedere che è decrescente come successione.
allora ho dimostrato banalmente che questa successione è sempre maggiore o uguale a 1 (ovviamente escluso $a_0$) e secondo me tende a 1 però non so come fare, cioè vorrei far vedere che è decrescente come successione.
Risposte
Hai fatto il solito disegnino che si impara ad Analisi 1? ($y=x$ intersecata con il grafico di $y=\sqrt(2+x)$).
Non puo' tendere a uno. Se $a_n\to l$ allora anche $a_{n+1}\to l$. Inserendo quasto fatto nella relazione ricorsiva (mettiamo che $l$ sia finito)
trovi $l=\sqrt{2+l}$ da cui $l^2-l-2=0$ che ti da' $l=2$ o $l=-1$, ma $l=-1$ non risolve $l=\sqrt{2+l}$ per cui l'unico limite possibile e' $l=2$.
Proviamo a vedere se $a_n$ e' monotona. Studiamo dunque il segno di $a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+2}-a_n$. Si ha
$\sqrt{a_n+2}\leq a_n$ $Leftrightarrow$ $a_n\geq0$ e $a_n+2\leq a_n^2$ $Leftrightarrow$ $a_n\geq0$ e $a_n^2-a_n-2\geq 0$ $Leftrightarrow$ $a_n\geq 2$ (ovviamente
$a_n\geq0$ e quindi non considero la condizione $a_n\leq -1$). In maniera analoga vedo che
$a_{n+1}\geq a_n$ $\Leftrightarrow$ $a_n\in[0,2]$
Dato che $a_0=0$ posso sperare che $a_n\in[0,2]$ per ogni $n$ - vediamo se e' vero. Ragionando per induzione mi basta vedere se vale
$a_n\in[0,1]\Rightarrow a_{n+1}\in[0,1]$
Per questo noto che $a_{n+1}\leq 2$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{a_n+2}\leq2$ $\Leftrightarrow$ $a_n+2\leq4$ $\Leftrightarrow$ $a_n\leq 2$
Dunque l'induzione funziona (il fatto che $a_n\geq0$ per ogni $n$ era banale) - analogamente si puo' vedere che se fossi partito da $a_0>2$ avrei trovato
$a_n>2$ per ogni $n$. RIassumendo
1) $a_n\leq 2$ per ogni $n$
2) $a_{n+1}\geq a_n$ per ogni $n$
3) dunque esiste $l\in[0,2]$ tale che $a_n\to l$
4) l'unico $l$ possibile e' $=2$
5) $a_n\to2^-$
6) se fosse stato $a_0>0$ avrei trovato $a_n\to 2^+$
EDIT effettivamente fare il disegnino suggerito da Luca (scrivevo in contemporanea con lui) aiuta molto a capire quello che succede.
trovi $l=\sqrt{2+l}$ da cui $l^2-l-2=0$ che ti da' $l=2$ o $l=-1$, ma $l=-1$ non risolve $l=\sqrt{2+l}$ per cui l'unico limite possibile e' $l=2$.
Proviamo a vedere se $a_n$ e' monotona. Studiamo dunque il segno di $a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+2}-a_n$. Si ha
$\sqrt{a_n+2}\leq a_n$ $Leftrightarrow$ $a_n\geq0$ e $a_n+2\leq a_n^2$ $Leftrightarrow$ $a_n\geq0$ e $a_n^2-a_n-2\geq 0$ $Leftrightarrow$ $a_n\geq 2$ (ovviamente
$a_n\geq0$ e quindi non considero la condizione $a_n\leq -1$). In maniera analoga vedo che
$a_{n+1}\geq a_n$ $\Leftrightarrow$ $a_n\in[0,2]$
Dato che $a_0=0$ posso sperare che $a_n\in[0,2]$ per ogni $n$ - vediamo se e' vero. Ragionando per induzione mi basta vedere se vale
$a_n\in[0,1]\Rightarrow a_{n+1}\in[0,1]$
Per questo noto che $a_{n+1}\leq 2$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{a_n+2}\leq2$ $\Leftrightarrow$ $a_n+2\leq4$ $\Leftrightarrow$ $a_n\leq 2$
Dunque l'induzione funziona (il fatto che $a_n\geq0$ per ogni $n$ era banale) - analogamente si puo' vedere che se fossi partito da $a_0>2$ avrei trovato
$a_n>2$ per ogni $n$. RIassumendo
1) $a_n\leq 2$ per ogni $n$
2) $a_{n+1}\geq a_n$ per ogni $n$
3) dunque esiste $l\in[0,2]$ tale che $a_n\to l$
4) l'unico $l$ possibile e' $=2$
5) $a_n\to2^-$
6) se fosse stato $a_0>0$ avrei trovato $a_n\to 2^+$
EDIT effettivamente fare il disegnino suggerito da Luca (scrivevo in contemporanea con lui) aiuta molto a capire quello che succede.
grazie mille per il chiarimento ma quale sarebbe questo disegnino? non lo conosco. me lo potete spiegare se questo aiuta a d avere un'idea di come va la sucessione?
Vedi un po' qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#337024
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#260731
Il grafico nel secondo post l'ho generato con una semplice procedura Maple. Se vuoi ti posso allegare il listato.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#337024
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#260731
Il grafico nel secondo post l'ho generato con una semplice procedura Maple. Se vuoi ti posso allegare il listato.
"miuemia":
Sia $a_0=0$ e $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ studiarne il comportamento.
La successione per [tex]n \geq 0[/tex] coincide con
[tex]2 \cos \left( \dfrac{\pi}{{2}^{n+1}} \right)[/tex]
quindi il limite della successione è $2*1 = 2$ .
"franced":
[quote="miuemia"]Sia $a_0=0$ e $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ studiarne il comportamento.
La successione per [tex]n \geq 0[/tex] coincide con
[tex]2 \cos \left( \dfrac{\pi}{{2}^{n+1}} \right)[/tex]
quindi il limite della successione è 1 .[/quote]
Volevi dire $2$ ...
"ViciousGoblin":
[quote="franced"][quote="miuemia"]Sia $a_0=0$ e $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ studiarne il comportamento.
La successione per [tex]n \geq 0[/tex] coincide con
[tex]2 \cos \left( \dfrac{\pi}{{2}^{n+1}} \right)[/tex]
quindi il limite della successione è 1 .[/quote]
Volevi dire $2$ ...
[/quote]Certo...
Ho corretto!
In ogni caso spero che il mio intervento sia chiaro:
volevo solo far capire che le formule di bisezione hanno
parecchie applicazioni!
non ho capito in che modo applichi le formule di bisezione!
Allora partiamo da
[tex]\cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 0[/tex]
[tex]\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\cos \left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}[/tex]
ecc.
Ora è chiaro il procedimento che si deve seguire?
[tex]\cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 0[/tex]
[tex]\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\cos \left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}[/tex]
ecc.
Ora è chiaro il procedimento che si deve seguire?
grazie mille a tutti. otimo il suggerimento del grafico!
ho un'altra successione
$a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_{n},\quad a_1 >0$
ho dimostrato facilmente che è sempre positiva, anzi sempre maggiore di $a_1 >0$ ed è crescente, ma il problema viene quando devo calcolare il limite.
secondo me è $+oo$ ma non riesco a capire come dimostrarlo
ho un'altra successione
$a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_{n},\quad a_1 >0$
ho dimostrato facilmente che è sempre positiva, anzi sempre maggiore di $a_1 >0$ ed è crescente, ma il problema viene quando devo calcolare il limite.
secondo me è $+oo$ ma non riesco a capire come dimostrarlo
Ma non è che $a_n=na_1$???
si! ma come facevo a vederlo?
Dimostrazione per induzione: $a_1=1a_1=a_1$, $a_{n+1}=(n+1)/n a_n=(n+1)/n na_1=(n+1)a_1$.
Intuizione: bastava vedere $a_2=2a_1$, $a_3=3a_1$, $a_4=4a_1$... e il sospetto veniva...
Intuizione: bastava vedere $a_2=2a_1$, $a_3=3a_1$, $a_4=4a_1$... e il sospetto veniva...
grazie mille! ma son alle prime armi! grazie
Chissà come mai mi ero fatto questa opinione di te... ma io pensavo che tu fossi uno studente di matematica ormai da alcuni anni, quindi verso la fine degli studi.... evidentemente mi sbaglio.
no non sono di mate. faccio un' altro lavoro però studio qualcosa di mate sempre, prendendo spunto da esercizi che trovo in rete.
Forse mi hanno tratto in inganno le informazioni sul tuo profilo allora...
si infatti l'ho aggiornato!
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