Successione definita per ricorrenza
devo di mostrare che la successione definita per ricorrenza
$u_0 = 1$
$u_{n+1} = sqrt{1+u_n}$
è ben definita, crescente, limitata superiormente e infine calcolarne il limite.
Che è crescente, si vede già calcolando i primi termini. $u_1=sqrt{2}$ , $u_2=sqrt{1+sqrt{2}}$ . Dimostro adesso per induzione. Abbiamo visto che
$u_1 > u_0$ ; suppongo ora $u_n >= u_{n-1}$ e verifico la tesi per $u_{n+1}$
$u_{n+1} = sqrt{1+u_n} >= sqrt{1+u_{n-1}} = u_n$
Ora per dimostrare che è convergente devo dimostrare che è limitata superiormente (QUESTO NON SO COME FARLO)
Supposto però che sia limitata superiormente però è convergente a un limite $l$ così come ogni sua sottosuccessione
Allora posso scrivere
$\lim_{n \to \infty}u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} sqrt{1+u_n}$
da cui
$l = sqrt{1+l}$
risolvendo ottengo il limite della successione
DOMANDE
E' corretto quello che ho fatto? Non so se ha molto senso. Che significa dimostrare che è ben definita e soprattutto come si può dimostrare che è limitata superiormente???
$u_0 = 1$
$u_{n+1} = sqrt{1+u_n}$
è ben definita, crescente, limitata superiormente e infine calcolarne il limite.
Che è crescente, si vede già calcolando i primi termini. $u_1=sqrt{2}$ , $u_2=sqrt{1+sqrt{2}}$ . Dimostro adesso per induzione. Abbiamo visto che
$u_1 > u_0$ ; suppongo ora $u_n >= u_{n-1}$ e verifico la tesi per $u_{n+1}$
$u_{n+1} = sqrt{1+u_n} >= sqrt{1+u_{n-1}} = u_n$
Ora per dimostrare che è convergente devo dimostrare che è limitata superiormente (QUESTO NON SO COME FARLO)
Supposto però che sia limitata superiormente però è convergente a un limite $l$ così come ogni sua sottosuccessione
Allora posso scrivere
$\lim_{n \to \infty}u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} sqrt{1+u_n}$
da cui
$l = sqrt{1+l}$
risolvendo ottengo il limite della successione
DOMANDE
E' corretto quello che ho fatto? Non so se ha molto senso. Che significa dimostrare che è ben definita e soprattutto come si può dimostrare che è limitata superiormente???
Risposte
Ben definita significa che puoi sempre fare la radice tranquillamente, è banale, ma lo devi provare. 
(*)
Per quanto riguarda il fatto che è limitata superiormente, se vuoi vederlo prima di calcolare l'eventuale limite, devi trovare qualcosa a occhio, mi pare, sinceramente non saprei risponderti in modo diverso. Io farei come hai fatto tu nel provare che il limite se esiste finito è appunto $l=(1+\sqrt(5))/2$ (e già li ti serve aver provato (*) ...). Ora, notando che la successione è crescente, il limite è il sup, quindi al massimo è $+oo$. Mostrerei allora per induzione che proprio $u_n <= l, forall n in NN$.
Non so se si è capito.
(*)Per quanto riguarda il fatto che è limitata superiormente, se vuoi vederlo prima di calcolare l'eventuale limite, devi trovare qualcosa a occhio, mi pare, sinceramente non saprei risponderti in modo diverso. Io farei come hai fatto tu nel provare che il limite se esiste finito è appunto $l=(1+\sqrt(5))/2$ (e già li ti serve aver provato (*) ...). Ora, notando che la successione è crescente, il limite è il sup, quindi al massimo è $+oo$. Mostrerei allora per induzione che proprio $u_n <= l, forall n in NN$.
Non so se si è capito.
"amel":
Ben definita significa che puoi sempre fare la radice tranquillamente, è banale, ma lo devi provare.
Per quanto riguarda il fatto che è limitata superiormente, se vuoi vederlo prima di calcolare l'eventuale limite, devi trovare qualcosa a occhio, mi pare, sinceramente non saprei risponderti in modo diverso. Io farei come hai fatto tu nel provare che il limite se esiste finito è appunto $l=(1+\sqrt(5))/2$ (e già li ti serve aver provato (*) ...). Ora, notando che la successione è crescente, il limite è il sup, quindi al massimo è $+oo$. Mostrerei allora per induzione che proprio $u_n <= l, forall n in NN$.
Non so se si è capito.
Ehm onestamente no
)) , non ho capitoma se per induzione:
suppongo $u_n <4$, $u_0$ è ovviamente minore e
$u_{n+1} = sqrt{1+u_n}< sqrt{1+ 4} < 4$
non ho dimostrato per induzione che è limitata perchè minore di 4???
io ingenuamente direi che la successione è ben definita perchè il radicando nella successione è sicuramente positivo, altrimenti non ho idea di cosa significhi!!!
Mi sembra tutto ok.
Non ho capito cos'è che non hai capito a questo punto.
Cos'è che non ti quadra?
Non ho capito cos'è che non hai capito a questo punto.
Cos'è che non ti quadra?
"amel":
Mi sembra tutto ok.
Non ho capito cos'è che non hai capito a questo punto.
Cos'è che non ti quadra?
no no direi che ci sono
il dubbio era sul discorso "successione ben definita" ma direi che l'esercizio è risolto
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