Successione definita per ricorrenza

[Rebb10]

Ciao ho dei dubbi su questo esercizio.
Sia ${x_n}_(n=0)^\infty$ una successione definita per ricorrenza
$\{(x_0=1),(x_(n+1)= (x_n(3+4x_n))/(5x_n+1)):}$
Stabilire se esiste $L= lim_(n->\infty)x_n$ e, in caso affermativo, determinarlo.

Allora, io ho calcolato $x_1=1$, $x_2=1$ e così via quindi ho dedotto che la successione è a termini costanti quindi converge a $L=1$.
è giusto come ragionamento?

[marco.ve1]

A me viene $x_1=5/7$...

[Rebb10]

Scusa, ho sbagliato $x_0$, l'ho corretto ora!!

[pilloeffe]

Ciao Rebb10,

"Rebb10":[...] l'ho corretto ora

Comunque è errato, perché se

$ \{(x_0=1),(x_(n+1)= (x_n(3+4x_n))/(5x_n+1)):} $

allora $x_1 = (x_0(3+4x_0))/(5x_0+1) = (3+4)/(5+1) = 7/6 $

[Rebb10]

Ok giusto, quindi è crescente...
Allora se io calcolo il limite $lim_(n->\infty) x_(n+1)=l$ ottengo due rislutati: $l=0$ e $l=-2$... Ma se la successione è crescente allora suppongo che diverge

[pilloeffe]

"Rebb10":[...] ottengo due risultati: $l=0 $ e $l=−2 $...

Veramente $l = 0 $ risulta anche a me, ma l'altro mi risulta $l = 2$

[Rebb10]

Si ops, giusto... quindi $L=2$

[pilloeffe]

... E perché non $L = +\infty $ ?

[Rebb10]

Uhm... come faccio? Allora dovrei andare avanti nel calcolare i termini e vedere se mai supera $L=2$. Perché in effetti la successione è crescente

[gugo82]

"Rebb10":Perché in effetti la successione è crescente

Dimostralo.

E comunque dovresti sapere che le successioni monotone sono regolari e convergono se e solo se sono limitate.