Successione definita per ricorrenza.

galles90
Buonasera,

Sia $p>0$, consideriamo la successione $a_n$ definita da:
\(\displaystyle \begin{cases} a_1=a>\sqrt{p} \\ a_{n+1}=\tfrac{1}{2}(a_n+\tfrac{p}{a_n})=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}\end{cases} \)
Il mio blocco principale è, non so proprio da dove cominciare.
Mi spiego meglio, ho fatto un giro sul web, e ho visto che non ci sono metodi generali per risolvere le successioni definite per ricorrenza, ma credo almeno un'impostazione su i passi penso che c'è sia, ovvero un filo logico da seguire.

Se devo riportate la risoluzione dell'esercizio ditemelo, modifico il post e l'aggiungo.

Cordiali saluti.

Risposte
pilloeffe
Ciao galles90,

La seconda è un'equazione alle differenze che rappresenta la formulazione discreta della controparte continua, costituita dalle equazioni differenziali ordinarie (ODE). La soluzione è la seguente:

$a_n = - i sqrt{p} cot(c 2^n) $

ove $c$ è una costante arbitraria. La prima equazione ti serve per trovare il valore di $c$.

galles90
Ciao pilloeffe !! :)
Sono + o - le stesse domande che mi faccio anch'io... comunque penso, che la prima equazione serve per garantire che ogni termine sia positivo, ovvero per provarlo bisogna procedere per induzione. Pero di questo non ne sono molto convinto, per questo ho aperto la seguente discussione :-)
Invece per l'altro post ....ci sono, domani la rileggo la dimostrazione ma è tutto ok, a parte qualche dubbio ma niente di grave :-D :-D

pilloeffe
Si ha:

$a_1 = a = - i sqrt{p}cot(2c) \implies a/sqrt{p} = - i cot(2c) \implies frac{i a}{sqrt{p}} = cot(2c) \implies 2c = cot^{- 1}(frac{i a}{sqrt{p}}) \implies $
$\implies c = frac{1}{2} cot^{- 1}(frac{i a}{sqrt{p}}) $

ove per la prima equazione $ a/sqrt{p} > 1 $ e quindi in definitiva la soluzione è la seguente:

$a_n = - i sqrt{p} cot(2^{n - 1} cot^{- 1}(frac{i a}{sqrt{p}})) $

Posto $n = 1 $ in quest'ultima equazione essa restituisce $a_1 = a $.

galles90
L'equazioni differenziali non le ho ancora fatte ! :( :(

dissonance
Vabbé, ma qual è la consegna dell'esercizio? Sei sicuro che ti chieda di trovare la soluzione esplicita?

pilloeffe
:shock:
... E quindi immagino meno che meno quelle alle differenze del primo ordine... :wink:
Ecco, vedo adesso la risposta di dissonance e sono d'accordo: che cosa ti chiede l'esercizio, esattamente ?
Perché qualche valore lo puoi calcolare:

$a_1 = a > sqrt{p} $
$a_2 = frac{1}{2}(a_1+ frac{p}{a_1}) = frac{1}{2}(a + frac{p}{a}) = frac{1}{2} frac(a^2 + p}{a} $
$a_3 = frac{1}{2}(a_2+ frac{p}{a_2}) = frac{1}{2}(frac{1}{2}(a + frac{p}{a}) + frac{p}{frac{1}{2}(a + frac{p}{a})}) = frac{1}{4}(a + frac{p}{a}) + frac{p}{a + frac{p}{a}} $
$\vdots $

galles90
No c'è anche la risoluzione dell'esercizio, ma il mio problema è, come inquadrare questi tipi di esercizi, cioè se c'è la possibilità di adottare un filo logico.
Se volete, posso riportare la risoluzione dell'esercizio.

cordiali saluti

pilloeffe
"galles90":
No c'è anche la risoluzione dell'esercizio, ma il mio problema è, come inquadrare questi tipi di esercizi, cioè se c'è la possibilità di adottare un filo logico.

Dipende, delle volte sono particolarmente semplici, come ad esempio qui.
"galles90":
Se volete, posso riportare la risoluzione dell'esercizio.

Beh, se ce l'hai a disposizione perché no, così capiamo quali sono le richieste... :wink:

gugo82
Le richieste saranno le solite, cioè provare che la successione è limitata, monotòna e convergente, poi calcolarne il limite.
Tutto si fa usando il Principio di Induzione ed un po' d'intuito. :wink:

pilloeffe
Aspetta...
Mi è venuto in mente che l'ho già vista in Elettronica III... Quello è un algoritmo per il calcolo della radice quadrata di un numero $p$ e si ha:

$lim_{n \to +\infty} a_n = sqrt{p} $

Guarda qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_per_il_calcolo_della_radice_quadrata

galles90
Ottimo, ora do un'occhiata !!
Thanks :)

gugo82
Certo...

Ma prova a fare da solo!
Poi, casomai non riesci dai un'occhiata.

galles90
Buongiorno,
il mio problema di fondo è capire il senso dei passaggi, per poter confermare che la successione abbia limite.

Ora riporto passo per passo, la risoluzione dell'esercizio che si trova sul mio libro di testo. Indicherò i vari passaggi che affronta, per poi riportare il mio significato "sperando che sia corretto" :-D
Comincio:

Sia \(\displaystyle p>0 \), e sia la successione \(\displaystyle a_n \) definita da:
\(\displaystyle \begin{cases} a_1=a>\sqrt{p} \\ a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}\end{cases} \)

1 Dimostriamo che $a_n >0$. Questo è vero considerando $a_1$, se si suppone vero per \(\displaystyle a_n \), si ha \(\displaystyle a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}>0 \) dato che il numeratore e denominatore sono ambedue positivi, per P.I. si ha \(\displaystyle a_n>0 ; \forall n \in\mathbb{N} \).

2 D'altra parte si ha \(\displaystyle a_{n+1}^2>p \) per ogni intero n.
Infine la successione \(\displaystyle a_n \) è decrescente, in quanto risulta
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0 \); visto che, come abbiamo dimostrato \(\displaystyle a_n>0 \) e \(\displaystyle a_n^2>p\).

3 La successione ha limite \(\displaystyle a_n \) ha limite \(\displaystyle l \), quindi
\(\displaystyle lim_n a_{n+1}=l \to lim_n \tfrac{a_n^2+p}{2a_n}=\tfrac{l^2+p}{2l}\)
allora si ha :\(\displaystyle l=\tfrac{l^2+p}{2l}\to l=\sqrt{p} \).

Il primo passaggio, cioè 1; lo fa per garantire che ogni termine \(\displaystyle n \) risulti positivo, quindi in particolare anche il termine \(\displaystyle a_{n+1}>0 \), allora anche \(\displaystyle a_{n+1}>\sqrt{p} \).

Secondo passaggio, forse questo punto può essere dedotto dal primo passaggio, ovvero garantisce che la differenza tra \(\displaystyle \displaystyle a_{n+1}-\sqrt{p}>0 \) ed è vero.
Infine fa vedere che la successione è decrescente, quindi per il teorema sulle successione monotone, il quale garantisce che una successione monotona ha limite, dove può essere finito o infinito, in sostanza il limite c'è. E' lo denota con \(\displaystyle l \).

Terzo passaggio, questo non mi è molto chiaro, cioè lui assume che la funzione è continua... e come fa ? :roll:

galles90
Come sono andato ?? :P

pilloeffe
La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te epperò è... sbagliaaata !
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=WGQ7JZRZ65M)
Scherzi a parte, provo a spiergartela a modo mio, poi magari mi dici che cosa non ti è chiaro.
Partiamo dalla definizione:

[tex]\displaystyle
\begin{cases} a_1=a>\sqrt{p} \\
a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}
\end{cases}[/tex]

Il punto 1 è corretto, per cui possiamo dare per assodato che $a_n > 0 qquad \AA n \in \NN_{>0} $ (qui c'è una lieve imprecisione dovuta al fatto che la successione non è definita per $n = 0 $, per cui non è $\NN $, ma come scritto $ \NN_{>0} $).
Detto ciò, considera la funzione $f(x) $ corrispondente definita nel modo seguente:

$f(x) := frac{x^2 + p}{2x} $

con $x > 0 $. Si vede subito che tale funzione è continua nel suo dominio, ed è definita in tutto $\RR $ fatta eccezione per il punto $x = 0 $, che però non ci disturba perché per noi come abbiamo già scritto si ha $ x > 0 $. La derivata di tale funzione è la seguente:

$f'(x) = frac{4x^2 - 2(x^2 + p)}{4x^2} = frac{2x^2 - 2p}{4x^2} = frac{x^2 - p}{2x^2} $

Quindi $f'(x) > 0 $ per $x > sqrt{p} $ e dunque la funzione in $x = sqrt{p} $ ha un punto di minimo $M(sqrt{p}, sqrt{p}) $. Il valore $ sqrt{p}$ è assunto dalla funzione soltanto quando $x = sqrt{p} $ e poi per $ x > sqrt{p} $ è sempre maggiore. Da quanto detto segue che

$a_{n + 1} \ge sqrt{p} \implies 1/a_{n + 1} \le 1/sqrt{p} \implies p/a_{n + 1} \le p/sqrt{p} = sqrt{p} $

Questo significa che, preso un valore iniziale $a_1 = a > sqrt{p} > 0 $, tutti gli altri valori da $a_1 $ compreso in poi non potranno essere inferiori a $sqrt{p} $. Quindi si ha:

$ p/a_{n + 1} \le sqrt{p} \le a_{n + 1} \implies a_{n + 1}^2 \ge p $

che vale $\AA n $. Ora dalla definizione si ha:

$ a_{n+1} = frac{a_n^2+p}{2a_n} \implies a_{n+1} - a_n = frac{a_n^2+p}{2a_n} - a_n = frac{a_n^2+p - 2a_n^2}{2a_n} = frac{p - a_n^2}{2a_n} \le 0 $

perché abbiamo appena dimostrato che $ a_{n}^2 \ge p \qquad \AA n \in \NN_{> 0} $ e d'altronde $a_n > 0 $. Ma allora $a_{n+1} \le a_n $ e quindi la successione è decrescente e compresa fra i valori $sqrt{p}$ e $a_1 = a > sqrt{p}$, pertanto è limitata. Poiché una successione monotona converge se e solo se è limitata, esiste un valore $ l \ge sqrt{p} $ al quale la successione proposta converge. Ora, considerando che la funzione $f(x) $ è continua, per definizione di continuità il valore $l$ del suo limite è pari al valore della funzione calcolata in $ x = l $, cioè $l = frac{l^2 + p}{2l} \implies l = sqrt{p} $. D'altronde si ha:

$a_{n + 1} - sqrt{p} = a_{n + 1} - a_n + a_n - sqrt{p} = frac{p - a_n^2}{2a_n} + a_n - sqrt{p} = 1/2(p/a_n - a_n) + a_n - sqrt{p} \le $
$ \le 1/2(sqrt{p} - a_n) + a_n - sqrt{p} = frac{a_n - sqrt{p}}{2}$

Applicando ricorsivamente la disuguaglianza appena trovata $a_{n + 1} - sqrt{p} \le frac{a_n - sqrt{p}}{2}$
si trova:

$a_{n + 1} - sqrt{p} \le 1/2 (a_n - sqrt{p}) \le 1/2^2 (a_{n - 1} - sqrt{p}) \le ... \le 1/2^n (a_{1} - sqrt{p}) = frac{a - sqrt{p}}{2^n} > 0 $

e quindi $\AA \epsilon > 0 $ esiste un $\bar n : \AA n \ge \bar n $ si ha:

$ a_{n + 1} - sqrt{p} \le frac{a - sqrt{p}}{2^n} < epsilon $

che dimostra la convergenza della successione a $ sqrt{p} $.

dissonance
"pilloeffe":
La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te epperò è... sbagliaaata !
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=WGQ7JZRZ65M)

:lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:

Che grande Corrado Guzzanti

galles90
Ahahahah grande Guzzanti :-D non lo conoscevo.

Mi dispiace che hai dovuto fare tutto questo, ma le derivate non l'ho ancora fatte sono arrivato alla nozione di limite. :(

Ciao

pilloeffe
"galles90":
Mi dispiace che hai dovuto fare tutto questo

No problem, ci divertiamo così... :wink:
"galles90":
le derivate non l'ho ancora fatte

Beh, con le derivate è più veloce, ma in realtà è possibile capire che quella funzione ha un minimo anche senza le derivate... Dai un'occhiata qui.

$f(x) := frac{x^2 + p}{2x} = 1/2(x + p/x) $

per cui si tratta della media aritmetica $A$ fra $x$ e $p/x $ e sappiamo che

$G \le A \le Q $

ove $ G $ è la media geometrica e $Q $ è la media quadratica e nel nostro caso si ha:

$G = sqrt{x \cdot p/x} = sqrt{p} $

$Q = sqrt{frac{x^2 + p^2/x^2}{2}} = sqrt{frac{x^4 + p^2}{2x^2}} = 1/x sqrt{frac{x^4 + p^2}{2}} $

ove naturalmente si è tenuto conto che $x > 0 $. Quindi in definitiva si ha:

$sqrt{p} \le f(x) \le 1/x sqrt{frac{x^4 + p^2}{2}} $

ove il segno di uguaglianza vale se e solo se $x = p/x \implies x = sqrt{p} $ ed in tal caso si ha:

$sqrt{p} = f(sqrt{p}) = 1/sqrt{p} sqrt{frac{p^2 + p^2}{2}} \implies f(sqrt{p}) = sqrt{p} \implies M(sqrt{p}, sqrt{p}) $

galles90
Ciao pilloeffe, ottimo mi sei piaciuto :smt023
In sostanza dobbiamo vedere la successione racchiusa tra due insiemi ?
Ma in quel caso il valore \(\displaystyle M\) dovrebbe coincidere anche con il massimo della successione

pilloeffe
"galles90":
ottimo mi sei piaciuto :smt023

Grazie! :smt023
"galles90":
In sostanza dobbiamo vedere la successione racchiusa tra due insiemi ?

Direi limitata... :wink:
"galles90":
Ma in quel caso il valore $M$ dovrebbe coincidere anche con il massimo della successione

Questa non l'ho capita... Perché ?

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