Successione definita per ricorrenza

[Maryse1]

Sia $ x_(n) $ con $ n>=0 $ una successione tale che $AA n>=0 $ $ x_n^2-7x_(n+1)+10=0 $
Determinare se esiste il limite $ lim_(n-> ∞) x_n $ e nel caso calcolarlo, nei seguenti 3 casi: $ x_0=1 $
$ x_0=4 $
$ x_0=6 $


Allora, sicuramente è una successione definita per ricorrenza..ora, per determinare che tale limite esiste come posso fare?. Negli esempi sul libro su tale argomento, prima dimostra per induzione che la successione è positiva e poi controlla se è crescente o meno .. devo fare così anche in questo caso?

[Maryse1]

Aaah capito, quindi essendo monotona sicuramente ha limite..per la convergenza quindi devo anche dimostrare che è limitata?

[gugo82]

Mah, dipende.

Prendi, ad esempio, il caso in cui \(-2 <\alpha <2\). Per quanto ho fatto vedere, la successione è definitivamente limitata in \([0,2[\), quindi il limite esiste finito; analogamente se \(2<|\alpha|<5\).
L'unico caso in cui devi ragionare un po' di più è \(|\alpha|>5\), ossia quando si verifica la C.

[Maryse1]

Ok, quindi ad esempio nel caso in cui $alpha=1$ io ho che la successione è strettamente crescente ed il limite sarà 2?

[gugo82]

Posta un ragionamento... Altrimenti sembra sempre che tu cerchi di indovinare il risultato, piuttosto che arrivarci per deduzione.