Successione definita per ricorrenza
Sia $ x_(n) $ con $ n>=0 $ una successione tale che $AA n>=0 $ $ x_n^2-7x_(n+1)+10=0 $
Determinare se esiste il limite $ lim_(n-> ∞) x_n $ e nel caso calcolarlo, nei seguenti 3 casi: $ x_0=1 $
$ x_0=4 $
$ x_0=6 $
Allora, sicuramente è una successione definita per ricorrenza..ora, per determinare che tale limite esiste come posso fare?. Negli esempi sul libro su tale argomento, prima dimostra per induzione che la successione è positiva e poi controlla se è crescente o meno .. devo fare così anche in questo caso?
Determinare se esiste il limite $ lim_(n-> ∞) x_n $ e nel caso calcolarlo, nei seguenti 3 casi: $ x_0=1 $
$ x_0=4 $
$ x_0=6 $
Allora, sicuramente è una successione definita per ricorrenza..ora, per determinare che tale limite esiste come posso fare?. Negli esempi sul libro su tale argomento, prima dimostra per induzione che la successione è positiva e poi controlla se è crescente o meno .. devo fare così anche in questo caso?
Risposte
Vedi se puoi trarre qualcosa di buono da quì
(a mio avviso un buon lavoro, che ha tra l'altro il pregio d'esser totalmente disponibile per la community ):
in caso contrario fa un fischio che, se non ci saranno altri interventi, ne riparliamo in termini un po' diversi ma sostanzialmente equivalenti.
Saluti dal web.
(a mio avviso un buon lavoro, che ha tra l'altro il pregio d'esser totalmente disponibile per la community ):
in caso contrario fa un fischio che, se non ci saranno altri interventi, ne riparliamo in termini un po' diversi ma sostanzialmente equivalenti.
Saluti dal web.
Mmmm non è che ho capito gran che lì..comunque come posso iniziare?
Prova intanto a vedere se, partendo proprio dalla legge di ricorrenza,
trovi una $f$ tale che,$AA n in NN$, si abbia $x_(n+1)-x_n=f(x_n)$, ché grazie ad un paio dei teoremi lì trattati arrivi subito a conclusioni:
se però proprio non ti torna, ne riparliamo.
Saluti dal web.
trovi una $f$ tale che,$AA n in NN$, si abbia $x_(n+1)-x_n=f(x_n)$, ché grazie ad un paio dei teoremi lì trattati arrivi subito a conclusioni:
se però proprio non ti torna, ne riparliamo.
Saluti dal web.
"Maryse":
Sia $ x_(n) $ con $ n>=0 $ una successione tale che $AA n>=0 $ $ x_n^2-7x_(n+1)+10=0 $
Determinare se esiste il limite $ lim_(n-> ∞) x_n $ e nel caso calcolarlo, nei seguenti 3 casi:
$ x_0=1 $
$ x_0=4 $
$ x_0=6 $
*
Allora, sicuramente è una successione definita per ricorrenza..ora, per determinare che tale limite esiste come posso fare?
Beh, ci ragioni su.
*
"Maryse":
Negli esempi sul libro su tale argomento, prima dimostra per induzione che la successione è positiva e poi controlla se è crescente o meno .. devo fare così anche in questo caso?
Dipende... Se ti sembra utile, sì; altrimenti scegli altre strade.
*
Ad esempio, hai capito perché è così importante studiarsi la monotonia e la limitatezza della successione?
*
Come si fa a studiare la monotonia della tua successione, cioé quella definita da:
\[
\begin{cases}
x_{n+1}= \tfrac{1}{7}\ x_n^2 + \tfrac{10}{7}\\
x_0=\alpha
\end{cases}\quad \text{?}
\]
Beh se la successione è monotona ha sicuramente limite, che sia finito o infinito, se poi è limitata è sicuramente finito.
Non devo vedere semplicemente quando se $x_(n+1) >= x_n$ ?
Non devo vedere semplicemente quando se $x_(n+1) >= x_n$ ?
Sì, certo... E allora come la studi la monotonia in questo caso?
Prova e riporta i passaggi.
Prova e riporta i passaggi.
Allora io per induzione posso sicuramente dimostrare che $x_n$ è positiva. Poi ho che
$ x_(n+1)=1/7x_n^2+10/7 $
quindi se io devo dimostrare ad esempio che è crescente dovrei avere che $ x_(n+1)>=n_n $ se la risolvo però ottengo dei valori..e mi viene che è crescente se è $ <=2 $ o$>=5$ e decrescente nell'intervallo di mezzo
$ x_(n+1)=1/7x_n^2+10/7 $
quindi se io devo dimostrare ad esempio che è crescente dovrei avere che $ x_(n+1)>=n_n $ se la risolvo però ottengo dei valori..e mi viene che è crescente se è $ <=2 $ o$>=5$ e decrescente nell'intervallo di mezzo
"Maryse":
Allora io per induzione posso sicuramente dimostrare che $x_n$ è positiva.
Aggiungerei: "positiva per ogni possibile scelta del valore iniziale \(\alpha\)".
"Maryse":
Poi ho che
$ x_(n+1)=1/7x_n^2+10/7 $
quindi se io devo dimostrare ad esempio che è crescente dovrei avere che $ x_(n+1)>=n_n $ se la risolvo però ottengo dei valori..e mi viene che è crescente se è $ <=2 $ o$>=5$ e decrescente nell'intervallo di mezzo
"Che è crescente" se quale cosa è "\(\leq 2\) o \(\geq 5\)"?
La successione
Casomai il termine generale della successione, non tutta la successione...
E allora come vorresti andare avanti ora che hai queste informazioni?
Prova a terminare l'esercizio.
E allora come vorresti andare avanti ora che hai queste informazioni?
Prova a terminare l'esercizio.
E' si giusto, a questo punto so che il limite esiste giusto? quindi posso supporre che il limite di $x_n$ sia un certo L che dovrò determinarmi.. mentre $a_(n+1)$ tenderà allora a $1/7L^2+10/7$. Se uguaglio i due risultati mi posso determinare il valore di L.. sbaglio così?
Ma se ancora non hai mostrato la monotonia... 
Ah... °_° sono in pieno altomare
Scusa, ragiona...
Hai detto che \((x_n)\) è (definitivamente) monotona solo se vale una delle seguenti alternative:
[list=A] [*:27t6glzu] \(x_n\leq 2\) per ogni \(n\) sufficientemente grande;
[/*:m:27t6glzu]
[*:27t6glzu] \(x_n\geq 5\) per ogni \(n\) sufficientemente grande;
[/*:m:27t6glzu]
[*:27t6glzu] \(2
e che nei casi A & B hai una successione crescente, mentre nel caso C hai una successione decrescente.
Quindi, per dimostrare la monotonia occorre e basta far vedere che la successione soddisfa una delle limitazioni A, B o C a seconda di com'è scelto il valore iniziale \(\alpha\).
Ad esempio, per mostrare che vale la A basta usare l'induzione (come hai fatto per la positività).
Prova.
Hai detto che \((x_n)\) è (definitivamente) monotona solo se vale una delle seguenti alternative:
[list=A] [*:27t6glzu] \(x_n\leq 2\) per ogni \(n\) sufficientemente grande;
[/*:m:27t6glzu]
[*:27t6glzu] \(x_n\geq 5\) per ogni \(n\) sufficientemente grande;
[/*:m:27t6glzu]
[*:27t6glzu] \(2
e che nei casi A & B hai una successione crescente, mentre nel caso C hai una successione decrescente.
Quindi, per dimostrare la monotonia occorre e basta far vedere che la successione soddisfa una delle limitazioni A, B o C a seconda di com'è scelto il valore iniziale \(\alpha\).
Ad esempio, per mostrare che vale la A basta usare l'induzione (come hai fatto per la positività).
Prova.
Quindi lo devo studiare in base ai 3 valori iniziali che mi da lui, giusto?
Perché, se lo fai nel caso generale ti cadono le manine? 
Carina la battuta. Comunque io allora devo fare questo: Per verificare la monotonia della successione $x_n$ basta che provo che vale uno dei casi A, B o C giusto? ad esempio nel caso A nel quale ho una successione crescente, lo posso dimostrare per induzione..ma questo indipendentemente da qualsiasi valore di $alpha$ che prendo?
Ovviamente no.
In generale, la monotonia della successione dipende dalla scelta del valore iniziale; quindi la validità di una delle alternative, in generale, non può essere indipendente da \(\alpha\).
Quindi?
In generale, la monotonia della successione dipende dalla scelta del valore iniziale; quindi la validità di una delle alternative, in generale, non può essere indipendente da \(\alpha\).
Quindi?
Sì, ma non riesco a capire come devo fare.
Grazie per la pazienza comunque, è la prima volta che faccio un esercizio del genere..e mi trovo in difficoltà
Grazie per la pazienza comunque, è la prima volta che faccio un esercizio del genere..e mi trovo in difficoltà
Proviamo a vedere cosa succede per A.
Quando è verificato il caso A?
Quando (per \(n\) sufficientemente grande) hai:
\[
x_n<2\quad \Rightarrow \quad x_{n+1}<2\; .
\]
Dato che \(x_{n+1}=f(x_n)\) con \(f(x):=\frac{1}{7} (x^2+10)\), la seconda condizione è soddisfatta non appena \(x_n^2 + 10<14\), ossia non appena:
\[
x_n^2<4\; ,
\]
cosa ch sarebbe sicuramente vera nell'ipotesi induttiva, ma che più in generale è vera se \(-2
Quando è verificato B?
Se vogliamo \(2
4
questo è sicuramente vero nell'ipotesi induttiva \(2
Allo stesso modo si ragiona per C e si trova che se \(\alpha<-5\) oppure \(\alpha >5\) \((x_n)\) soddisfa \(x_n>5\) per \(n\geq 1\), quindi \((x_n)\) è crescente da \(x_1\) in poi.
Quindi in ogni caso hai monotonia.
La monotonia implica la regolarità; quindi ora devi capire se la successione è convergente o divergente... Come fai?
Quando è verificato il caso A?
Quando (per \(n\) sufficientemente grande) hai:
\[
x_n<2\quad \Rightarrow \quad x_{n+1}<2\; .
\]
Dato che \(x_{n+1}=f(x_n)\) con \(f(x):=\frac{1}{7} (x^2+10)\), la seconda condizione è soddisfatta non appena \(x_n^2 + 10<14\), ossia non appena:
\[
x_n^2<4\; ,
\]
cosa ch sarebbe sicuramente vera nell'ipotesi induttiva, ma che più in generale è vera se \(-2
Quando è verificato B?
Se vogliamo \(2
4
questo è sicuramente vero nell'ipotesi induttiva \(2
Allo stesso modo si ragiona per C e si trova che se \(\alpha<-5\) oppure \(\alpha >5\) \((x_n)\) soddisfa \(x_n>5\) per \(n\geq 1\), quindi \((x_n)\) è crescente da \(x_1\) in poi.
Quindi in ogni caso hai monotonia.
La monotonia implica la regolarità; quindi ora devi capire se la successione è convergente o divergente... Come fai?
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